Directed polymer in γ-stable random environments

Abstract

The transition from a weak-disorder (diffusive) to a strong-disorder (localized) phase for directed polymers in a random environment is a well studied phenomenon. In the most common setup, it is established that the phase transition is trivial when the transversal dimension d equals 1 or 2 (the diffusive phase is reduced to $\mathit{\beta }=0$) while when $\mathit{d}\ge 3$, there is a critical temperature ${\mathit{\beta }}_{\mathit{c}}\in (0,\infty )$ which delimits the two phases. The proof of the existence of a diffusive regime for $\mathit{d}\ge 3$ is based on a second moment method (Comm. Math. Phys. 123 (1989) 529–534, Ann. Probab. 34 (2006) 1746–1770, J. Stat. Phys. 52 (1988) 609–626), and thus relies heavily on the assumption that the variable which encodes the disorder intensity (which in most of the mathematics literature assumes the form ${\mathit{e}}^{\mathit{\beta }{\mathit{\eta }}_{\mathit{x}}}$), has finite second moment. The aim of this work is to investigate how the presence/absence of phase transition may depend on the dimension d in the case when the disorder variable displays a heavier tail. To this end we replace ${\mathit{e}}^{\mathit{\beta }{\mathit{\eta }}_{\mathit{x}}}$ by $(1+\mathit{\beta }{\mathit{\omega }}_{\mathit{x}})$ where ${\mathit{\omega }}_{\mathit{x}}$ is in the domain of attraction of a stable law with parameter $\mathit{\gamma }\in (1,2)$. In this setup we show that a non-trivial phase transition occurs if and only if $\mathit{\gamma }>1+2/\mathit{d}$. More precisely, when $\mathit{\gamma }\le 1+2/\mathit{d}$, the free energy of the system is smaller than its annealed counterpart at every temperature whereas when $\mathit{\gamma }>1+2/\mathit{d}$ the martingale sequence of renormalized partition functions converges to an almost surely positive random variable for all β sufficiently small.

Le passage d’un désordre faible (phase diffusive) à un désordre fort (phase localisée) pour des polymères dirigés dans un environnement aléatoire est un phénomène bien étudié. Dans la configuration la plus courante, il est établi que la transition de phase est triviale lorsque la dimension transversale d vaut 1 ou 2 (la phase diffusive est réduite à $\mathit{\beta }=0$) tandis que lorsque $\mathit{d}\ge 3$, il existe une température critique ${\mathit{\beta }}_{\mathit{c}}\in (0,\infty )$ qui délimite les deux phases. La preuve de l’existence d’un régime diffusif pour $\mathit{d}\ge 3$ est basée sur une méthode du second moment (Comm. Math. Phys. 123 (1989) 529–534, Ann. Probab. 34 (2006) 1746–1770, J. Stat. Phys. 52 (1988) 609–626), et repose donc fortement sur l’hypothèse que la variable qui encode l’intensité du désordre (qui dans la plupart de la littérature mathématique prend la forme ${\mathit{e}}^{\mathit{\beta }{\mathit{\eta }}_{\mathit{x}}}$), a un second moment fini. Le but de ce travail est d’étudier comment la présence/absence de transition de phase peut dépendre de la dimension d dans le cas où la variable désordre affiche une queue plus lourde. Pour cela on remplace ${\mathit{e}}^{\mathit{\beta }{\mathit{\eta }}_{\mathit{x}}}$ par $(1+\mathit{\beta }{\mathit{\omega }}_{\mathit{x}})$ où ${\mathit{\omega }}_{\mathit{x}}$ est dans le domaine d’attraction d’une loi stable avec le paramètre $\mathit{\gamma }\in (1,2)$. Dans cette configuration, nous montrons qu’une transition de phase non triviale se produit si et seulement si $\mathit{\gamma }>1+2/\mathit{d}$. Plus précisément, lorsque $\mathit{\gamma }\le 1+2/\mathit{d}$, l’énergie libre du système est plus petite que celle de son homologue recuit à chaque température alors que lorsque $\mathit{\gamma }>1+2/\mathit{d}$ la suite martingale des fonctions de partition renormalisées converge vers une variable aléatoire presque sûrement positive pour tout β suffisamment petit.