On conditioning a self-similar growth-fragmentation by its intrinsic area

Abstract

The genealogical structure of self-similar growth-fragmentations can be described in terms of a branching random walk. The so-called intrinsic area $\mathtt{A}$ arises in this setting as the terminal value of a remarkable additive martingale. Motivated by connections with some models of random planar geometry, the purpose of this work is to investigate the effect of conditioning a self-similar growth-fragmentation on its intrinsic area. The distribution of $\mathtt{A}$ is a fixed point of a useful smoothing transform which enables us to establish the existence of a regular density a and to determine the asymptotic behavior of $\mathit{a}(\mathit{r})$ as $\mathit{r}\to \infty$ (this can be seen as a local version of Kesten–Grincevičius–Goldie theorem’s for random affine fixed point equations in a particular setting). In turn, this yields a family of martingales from which the formal conditioning on $\mathtt{A}=\mathit{r}$ can be realized by probability tilting. We point at a limit theorem for the conditional distribution given $\mathtt{A}=\mathit{r}$ as $\mathit{r}\to \infty$, and also observe that such conditioning still makes sense under the so-called canonical measure for which the growth-fragmentation starts from 0.

La structure généalogique d’un processus de croissance-fragmentation auto-similaire peut être décrite en termes d’une marche aléatoire branchante. Son aire intrinsèque $\mathtt{A}$ apparait dans ce cadre comme la valeur terminale d’une martingale additive remarquable. L’objet de ce travail est l’étude du conditionnement du processus par l’aire intrinsèque ; il est motivé par certains modèles de géométrie aléatoire plane. La loi de $\mathtt{A}$ est le point fixe d’une transformation de lissage qui permet d’établir l’existence d’une densité régulière a et de déterminer le comportement asymptotique de $\mathit{a}(\mathit{r})$ lorsque $\mathit{r}\to \infty$ (ce qui peut être vu comme une version locale du théorème de Kesten–Grincevičius–Goldie pour les points fixes d’ une équation aléatoire affine dans un cadre particulier). Cela conduit à une famille de martingales à partir desquelles le conditionnement par l’évènement $\mathtt{A}=\mathit{r}$ peut être réalisé au moyen d’un changement de probabilités. Nous obtenons un théorème limite pour la loi conditionnelle sachant $\mathtt{A}=\mathit{r}$ lorsque $\mathit{r}\to \infty$, et observons également qu’un tel conditionnement garde un sens sous la mesure dite canonique pour laquelle le processus de croissance-fragmentation part de 0.