One of the most popular areas in the probability theory is the research related to Bernoulli random variables. In this paper we will consider the random variable \(N_{1,\ell}(n)\) that will take on a value equal to the number of successes before the \(\ell\)-th failure occurs if the \(\ell\)-th failure occurred before time \(n\) and a value equal to the number of successes that occurred by time \(n\) if the \(\ell\)-th failure did not occur by \(n\)-th trial. Some variations of \(N_{1,\ell}(n)\) will also be considered.

La recherche liée aux variables aléatoires de Bernoulli est l'un des thèmes les plus populaires en théorie des probabilités. Dans cet article, nous considérerons la variable aléatoire \(N_{1,\ell}(n)\) qui est le nombre de succès avant que le \(\ell\)-ième échec ne se produise si le \(\ell\)-ième échec s'est produit avant le temps \(n\) et qui est le nombre de succès survenus au temps \(n\) si le \(\ell\)-ième échec ne s'est pas produit au \(n\)-ième essai. Certaines variantes de \(N_{1,\ell}(n)\) seront également prises en compte.

In this paper, we deal with the problem of estimation of the localization of Poisson signals emitted from a single source of unknown position. More precisely, we are interested by the case of discontinuous (change-point type) model of signal. The asymptotic behavior of the Bayesian estimator of the position of the source in non standard situation related with the uncertainty of the model is studied. In particular the consistency is analyzed. The limit distribution and the convergence of the moments are also described.

Dans cet article, nous traitons du problème de l'estimation de la position d'une source unique émettant des signaux de Poisson à partir d'une source unique de position inconnue. Plus précisément, nous nous intéressons au cas où le modèle du signal est discontinu. On étudie le comportement asymptotique de l'estimateur bayésien de la position de la source en situation non standard liée à l'incertitude du modèle. La consistance est en particulier analysée. La distribution limite et la convergence des moments sont également décrites.

In the presence of covariates, the dependence structure of a vector of random variables can be modelled by using conditional copula function. If the latter belongs to a parametric copula family, say \(\mathfrak{C}_{\theta}\), an important question is how the dependence parameter \(\theta\) is related to these covariates. In this paper, we propose a wavelet-based regression approach to estimate the relationship between \(\theta\) and some real-valued covariate. We consider wavelet shrinkage estimators and show their performance via a simulation study. An application to a meteorological dataset reveals that the temperature influences the dependence structure between the maximum and the minimum relative humidity variables, whenever it takes either very large values or very small values.

En présence de covariables, la structure de dépendance entre variables aléatoires peut être modélisée à l'aide d'une fonction de copule conditionnelle. Si cette dernière appartient à une famille de copules paramétriques, $\mathfrak{C}_{\theta}$, une question importante est de savoir comment le paramètre de dépendence de copule $\theta$ est lié à ces covariables. Dans cet article, nous proposons une approche de régression par ondelettes pour estimer la relation entre le paramètre de dépendance $\theta$ et une certaine covariable réelle observée en même temps que les variables d'intérêt. Nous considérons des estimateurs non linéaires d'ondelettes et montrons leur performance à travers une étude de simulation. Une application à des données météorologiques révèle que la température influence la structure de dépendance entre les variables d'humidité relative maximale et minimale, dès qu'elle prend des valeurs assez grandes ou assez petites.