We briefly introduce this special issue of Afrika Statistika on the proceedings of the annual Imhotep seminar on functional empirical and residual processes and their applications.

Nous présentons brièvement ce numéro spécial de Afrika Statistika sur les actes du séminaire annuel de Imhotep sur les processus empiriques fonctionnels et processus résiduels et leurs applications.

The objective of this paper is to establish a general asymptotic representation (GAR) for a wide range of statistics, employing two fundamental processes: the functional empirical process (fep) and the residual functional empirical process introduced by Lo and Sall (2010a, 2010b), denoted as lrfep. The functional empirical process (fep) is defined as follows:

$${\mathbb{G}}_n\left(h\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n\left\{h\right(X_j)-\mathbb{E}h(X_j\left)\right\},$$

[where $X$, $X_1$, $\cdots$, $X_n$ is a sample from a random $d$-vectors $X$ of size $(n+1)$ with $n\ge 1$ and $h$ is a measurable function defined on ${\mathrm{ℝ}}^d$ such that ]. It is a powerful tool for deriving asymptotic laws. An earlier and simpler version of this paper focused on the application of the (fep) to statistics $J_n$ that can be turned into an asymptotic algebraic expression of empirical functions of the form:

$$J_n=\mathbb{E}h\left(X\right)+n^{-1/2}{\mathbb{G}}_n\left(h\right)+o_{\mathrm{\mathbb{P}}}\left(n^{-1/2}\right). \mathit{\text{SGAR}}$$

However, not all statistics, in particular welfare indexes, conform to this form. In many scenarios, functions of the order statistics $X_{1,n}\le ,\cdots ,\le X_{n,n}$ are involved, resulting in $L$-statistics. In such cases, the (fep) can still be utilized, but in combination with the related residual functional empirical process introduced by Lo and Sall (2010a, 2010b). This combination leads to general asymptotic representations (GAR) for a wide range of statistical indexes

$$J_n=\mathbb{E}h\left(X\right)+n^{-1/2}\left({\mathbb{G}}_n\right(h)+{\int }_0^1{\mathbb{G}}_n({\tilde{f}}_s\left)\ell \right(s) ds+o_{\mathrm{\mathbb{P}}}(1\left)\right), \mathit{\text{FGAR}}$$

where ${\tilde{f}}_s=1_{]-\infty ,F^{-1}(s\left)\right]}$ is the indicator function of the interval $]-\infty ,F^{-1}(s\left)\right]$ of $\mathrm{ℝ}$, $h\in L^2\left({\mathrm{\mathbb{P}}}_X\right)$ and $\ell (\circ )$ is a measurable function of $s\in (0,1)$. Such representations, when associated with copulas, provide a robust framework for comparing indices over the time or across different areas. The comprehensive theory is presented alongside explicit examples, facilitating the utilization by researchers.

L’objectif de cet article est d’établir une représentation asymptotique générale (RAG) pour un large éventail de statistiques, en utilisant deux processus : le processus empirique fonctionnel (fep) et le processus empirique résiduel introduit par Lo et Sall (2010a, 2010b), abrégé sous le nom de lrfep. Le processus empirique fonctionnel (fep) est défini comme suit :

$${\mathbb{G}}_n\left(h\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n\left\{h\right(X_j)-\mathbb{E}h(X_j\left)\right\},$$

[où $X$, $X_1$, $\cdots$, $X_n$ représentent un échantillon d’un vecteur aléatoire (de longueur $d$) de taille $(n+1)$ with $n\ge 1$, et $h$ est une fonction mesurable définie sur ${\mathrm{ℝ}}^d$ telle que ]. Ce processus est un outil puissant pour déduire les propriétés asymptotiques. Une version antérieure et plus simple de cet article se concentrait sur l’application du fep aux statistiques $J_n$ qui peuvent être transformées en une expression algébrique asymptotique des fonctions empiriques sous la forme :

$$J_n=\mathbb{E}h\left(X\right)+n^{-1/2}{\mathbb{G}}_n\left(h\right)+o_{\mathrm{\mathbb{P}}}\left(n^{-1/2}\right). \mathit{\text{SGAR}}$$

Cependant, toutes les statistiques, en particulier les indices de bien-être, ne suivent pas cette forme. Dans de nombreuses situations, des fonctions des statistiques d’ordre $X_{1,n}\le ,\cdots ,\le X_{n,n}$ sont impliquées, ce qui donne naissance aux statistiques $L$. Dans de tels cas, le fep peut toujours être utilisé, mais en combinaison avec le processus empirique résiduel associé introduit par Lo et Sall (2010a, 2010b). Cette combinaison conduit à une représentation asymptotique générale (GAR) pour un large éventail d’indices statistiques :

$$J_n=\mathbb{E}h\left(X\right)+n^{-1/2}\left({\mathbb{G}}_n\right(h)+{\int }_0^1{\mathbb{G}}_n({\tilde{f}}_s\left)\ell \right(s) ds+o_{\mathrm{\mathbb{P}}}(1\left)\right), \mathit{\text{FGAR}}$$

où ${\tilde{f}}_s=1_{]-\infty ,F^{-1}(s\left)\right]}$ est la fonction indicatrice de l’intervalle $]-\infty ,F^{-1}(s\left)\right]$ de $\mathrm{ℝ}$, $h\in L^2\left({\mathrm{\mathbb{P}}}_X\right)$, et $\ell (\circ )$ est une fonction mesurable de $s\in (0,1)$. De telles représentations, lorsqu’elles sont combinées avec les copules, fournissent un cadre solide pour la comparaison des indices au fil du temps ou entre différentes zones. La théorie complète est présentée avec des exemples explicites, facilitant son utilisation par les chercheurs.

The jarque-Bera chi-square test is one of the most iconic and celebrated tests of normality. It is overwhelmingly used in many disciplines, especially in Econometrics and related software. Typically, a precise combination of the squared deviations of the empirical kurtotis and the empirical skewness from their true counterparts was proved by Jarque and Bera (1987) to be asymptotically approximated to a chi-square law of two degrees of freedom. The then-derived Jarque-Bera test has been devised from that weal limit. As we will check it again, it proved itself very efficient to detect normality even for single digit values of the sample size. Now, the use of the functional empirical process made it possible to have remarkable expansions of statistics including empirical moments. Thus allows to extend the asymptotic theory of the Jarque-Bera (JB) Statistic beyond the normality context and the possibility of using reduced moments of order more than three and four. The study shed light of coefficients of the classical JB statistics paving the way to obtaining generalized tests for fitting arbitrary distributions whenever the finiteness of moments allows it.

Le test de Jarque-Bera a été spécifiquement conçu pour tester la normalité des données et repose naturellement sur les paramètres d’asymétrie et d’applatissement. Dans cette discussion, nous verrons que ce test nécessite en réalité la finitude des huit premiers moments. De plus, en utilisant le processus empirique fonctionnel, nous généraliserons ce test pour ajuster n’importe quelle distribution ayant au moins huit premiers moments finis, ce qui donne naissance aux tests Jarque-Bera généralisés (GJBT). Une étude de simulation sur l’efficacité des GJBT est présentée. De nouvelles pistes de recherche sont recommandées.

In this paper we study the asymptotic theory for samples problem based on the functional empirical process (fep), this new method is called general samples problem. We suggest this method to develop the full theory of estimation of means, variances, ratios of variances and differences of means for independent samples. We compare the results of our new method to the Gaussian method using simulated and real data. The obtained results are almost equivalent to those in the Gaussian case for samples’s size equal to 10. It has been prove that the estimation of the mean difference is very precise regardless of the equality or inequality of variances for greater sizes of sample. This method is recommended when the sizes of samples is around or greater that 15 and it requires the finiteness of the second order moment.

Dans cet article, nous étudions le problème de la théorie asymptotique pour les échantillons basé sur le processus empirique fonctionnel (fep), cette nouvelle méthode est appelée problème général des échantillons. Nous suggérons cette méthode pour développer la théorie complète de l’estimation des moyennes, des variances, des rapports de variances et des différences de moyennes pour des échantillons indépendants. Nous comparons les résultats de notre nouvelle méthode à la méthode gaussienne en utilisant des données simulées et réelles. Les résultats obtenus sont presque équivalents à ceux du cas gaussien pour une taille d’échantillon égale à 10. Il a été prouvé que l’estimation de la différence moyenne est très précise quelle que soit l’égalité ou l’inégalité des variances pour des échantillons de plus grande taille. Cette méthode est recommandée lorsque la taille des échantillons est autour de ou supérieure à 15 et nécessite la finitude du moment du second ordre.

In this paper we establish a general asymptotic representation (GAR) of the $S$-Gini index of inequality $J\left(\nu \right), \nu \ge 2$, using the functional empirical process (fep) and the Lo’s residual functional empirical process introduced by Lo and Sall (2010a) and Lo and Sall (2010b), abbreviated lrfep.

Dans cet article, nous établissons une représentation asymptotique générale (GAR) de l’indice d’inégalité $S$-Gini, noté $J\left(\nu \right), \nu \ge 2$, en utilisant le processus empirique fonctionnel (fep) et le processus empirique fonctionnel résiduel de Lo introduit par (Lo et Sall (2010a)), et (Lo et Sall (2010b)), abrégé lrfep.

In this paper, we use a direct and specific way of finding a General Asymptotic Representation of Kakwani welfare index. The Kakwani measure includes the Sen index and the Foster-Thorbecke-Geer index. A GAR for Kakwani has been derived in Lo (2013) as a particular case of the GAR of the General Poverty index. However that general approach uses highly mathematical tools. But that approach does not use the fep-lrfep method as exposed in Lo et al. (2023). So, a direct treatment based on the new unified formulation is to be considered and that would serve as a validation of the first result.

Dans cet article, nous utilisons une méthode directe et spécifique pour trouver une représentation asymptotique générale de l’indice de bien-être de Kakwani. La mesure de Kakwani comprend l’indice de Sen et l’indice de Foster-Thorbecke-Geer. Un GAR pour Kakwani a été dérivé dans Lo (2013) comme cas particulier du GAR de l’indice général de pauvreté. Cependant, cette approche générale utilise des outils hautement mathématiques mais n’utilise pas la méthode fep-lrfep telle qu’exposée dans Lo et al. (2023). Ainsi, un traitement direct basé sur la nouvelle formulation unifiée doit être envisagé et cela servirait de validation du premier résultat.