The multi-type bisexual Galton–Watson branching process

Abstract

In this work we study the bisexual Galton–Watson process with a finite number of types, where females and males mate according to a “mating function” and form couples of different types. We assume that this function is superadditive, which in simple words implies that two groups of females and males will form a larger number of couples together rather than separate. Leveraging on concave Perron-Frobenius theory, we prove a necessary and sufficient condition for almost sure extinction as well as a law of large numbers. Finally, we study the almost sure long-time convergence of the rescaled process through the identification of a supermartingale, and we give sufficient conditions to ensure a convergence in ${\mathit{L}}^1$ to a non-degenerate limit.

Dans cet article, nous nous intéressons au processus de Galton–Watson bisexué avec un nombre fini de types, où des femelles et des mâles s’accouplent selon une “fonction d’accouplement” pour former des couples de différents types. Nous supposons que cette fonction est superadditive, ce qui, en termes simples, implique que deux groupes de femelles et de mâles forment un plus grand nombre de couples ensemble que séparés. À l’aide d’une théorie de Perron-Frobenius pour les opérateurs concaves, nous démontrons une condition nécessaire et suffisante d’extinction presque sûre ainsi qu’une loi des grands nombres. Enfin, nous étudions la convergence presque sûre en temps long du processus par identification d’une surmartingale et nous donnons des conditions suffisantes assurant la convergence dans ${\mathit{L}}^1$ du processus vers une limite non dégénérée.