Random walks in the high-dimensional limit I: The Wiener spiral

Abstract

We prove limit theorems for random walks with n steps in the d-dimensional Euclidean space as both n and d tend to infinity. One of our results states that the path of such a random walk, viewed as a compact subset of the infinite-dimensional Hilbert space ${\ell }^2$, converges in probability in the Hausdorff distance up to isometry and also in the Gromov–Hausdorff sense to the Wiener spiral, as $\mathit{d},\mathit{n}\to \infty$. Another group of results describes various possible limit distributions for the squared distance between the random walker at time n and the origin.

Nous démontrons des théorèmes limite pour des marches aléatoires de longueur n dans l’espace euclidien d-dimensionnel, lorsque n et d tendent vers l’infini. Nous établissons notamment que la trajectoire de telles marches aléatoires, vue comme un sous-ensemble compact de l’espace de Hilbert ${\ell }^2$ de dimension infinie, converge en probabilité vers la spirale de Wiener quand n et d tendent vers l’infini, à la fois pour la distance de Hausdorff à isométries près et la distance de Gromov–Hausdorff. Nous décrivons également les limites en loi possibles pour le carré de la distance entre la marche aléatoire au temps n et l’origine.