Prevalence of ρ-irregularity and related properties

Abstract

We show that generic Hölder continuous functions are ρ-irregular. The property of ρ-irregularity has been first introduced by Catellier and Gubinelli (Stochastic Process. Appl. 126 (2016) 2323–2366) and plays a key role in the study of well-posedness for some classes of perturbed ODEs and PDEs. Genericity here is understood in the sense of prevalence. As a consequence we obtain several results on regularisation by noise “without probability”, i.e. without committing to specific assumptions on the statistical properties of the perturbations. We also establish useful criteria for stochastic processes to be ρ-irregular and study in detail the geometric and analytic properties of ρ-irregular functions.

On montre que génériquement les fonctions Höldériennes sont ρ-irrégulières. La propriété de ρ-irrégularité a été introduite par Catellier et Gubinelli (Stochastic Process. Appl. 126 (2016) 2323–2366) et elle joue un rôle important dans l’étude du caractère bien posé de certaines équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles perturbées. La généricité ici est à entendre dans le sens de la prévalence. Par conséquent, on obtient des résultats de régularisation par bruit « sans probabilité », c’est-à-dire, sans utiliser d’hypothèses spécifiques sur la nature aléatoire des perturbations. Nous établissons également des critères utiles pour que les processus stochastiques soient ρ-irréguliers et nous étudions en détail les propriétés géométriques et analytiques des fonctions ρ-irrégulières.