Effect of small noise on the speed of reaction-diffusion equations with non-Lipschitz drift

Abstract

We consider the $[0,1]$-valued solution $({\mathit{u}}_{\mathit{t},\mathit{x}}:\mathit{t}\ge 0,\mathit{x}\in \mathbb{R})$ to the one dimensional stochastic reaction diffusion equation with Wright-Fisher noise ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}\mathbf{+}\mathit{f}(\mathit{u})\mathbf{+}\mathit{ϵ}\sqrt{\mathit{u}(1-\mathit{u})}\dot{\mathit{W}}$. Here, W is a space-time white noise, $\mathit{ϵ}>0$ is the noise strength, and f is a continuous function on $[0,1]$ satisfying ${sup}_{\mathit{z}\in [0,1]}|\mathit{f}(\mathit{z})|/\sqrt{\mathit{z}(1-\mathit{z})}<\infty$. We assume the initial data satisfies $1-{\mathit{u}}_{0,-\mathit{x}}={\mathit{u}}_{0,\mathit{x}}=0$ for x large enough. Recently, it was proved in (Comm. Math. Phys. 384 (2021) 699–732) that the front of ${\mathit{u}}_{\mathit{t}}$ propagates with a finite deterministic speed ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$, and under slightly stronger conditions on f, the asymptotic behavior of ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ was derived as the noise strength ϵ approaches ∞. In this paper we complement the above result by obtaining the asymptotic behavior of ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ as the noise strength ϵ approaches 0: for a given $\mathit{p}\in [1/2,1)$, if $\mathit{f}(\mathit{z})$ is non-negative and is comparable to ${\mathit{z}}^{\mathit{p}}$ for sufficiently small z, then ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ is comparable to ${\mathit{ϵ}}^{-2\frac{1-\mathit{p}}{1\mathbf{+}\mathit{p}}}$ for sufficiently small ϵ.

Nous considérons la solution $({\mathit{u}}_{\mathit{t},\mathit{x}}:\mathit{t}\ge 0,\mathit{x}\in \mathbb{R})$ à valeur dans l’intervalle $[0,1]$ de l’équation stochastique de réaction-diffusion unidimensionnelle avec un bruit de Wright-Fisher ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}={\partial }_{\mathit{x}}^2\mathit{u}\mathbf{+}\mathit{f}(\mathit{u})\mathbf{+}\mathit{ϵ}\sqrt{\mathit{u}(1-\mathit{u})}\dot{\mathit{W}}$. Où W est un bruit blanc en espace et en temps, $\mathit{ϵ}>0$ est l’intensité du bruit et f est une fonction continue sur $[0,1]$ telle que ${sup}_{\mathit{z}\in [0,1]}|\mathit{f}(\mathit{z})|/\sqrt{\mathit{z}(1-\mathit{z})}<\infty$. Nous supposons que la condition initiale satisfait $1-{\mathit{u}}_{0,-\mathit{x}}={\mathit{u}}_{0,\mathit{x}}=0$ pour x suffisamment grand. Il a été récemment prouvé dans (Comm. Math. Phys. 384 (2021) 699–732) que le front de ${\mathit{u}}_{\mathit{t}}$ se propage à une vitesse ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ déterministe finie et, sous des conditions légèrement plus fortes pour f, le comportement asymptotique de ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ est entièrement déterminé par l’intensité du bruit ϵ lorsqu’il tend vers l’infini. Dans cet article, nous complétons ces résultats en décrivant le comportement asymptotique de ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ lorsque ϵ tend vers 0 : pour $\mathit{p}\in [1/2,1)$, si $\mathit{f}(\mathit{z})$ est positif et se comporte comme ${\mathit{z}}^{\mathit{p}}$ pour z suffisamment petit, alors ${\mathit{V}}_{\mathit{f},\mathit{ϵ}}$ est équivalent à ${\mathit{ϵ}}^{-2\frac{1-\mathit{p}}{1\mathbf{+}\mathit{p}}}$ quand ϵ est suffisamment petit.