A bilinear flory equation

Abstract

We consider coagulation equations of Flory type where particles are represented by finite dimensional vectors and the coagulation rate between two particles of types x and y is given by a bilinear form $\mathit{y}·\mathit{A}\mathit{x}$, generalising the multiplicative kernel. For these coagulation rates, a gelation transition occurs at a finite time ${\mathit{t}}_{\mathrm{g}}\in (0,\infty )$, which can be given exactly in terms of an eigenvalue problem in finite dimensions. We prove a hydrodynamic limit for the corresponding stochastic coagulant, including the phase transition for the largest particle, and exploit a coupling to random graphs to extend analysis of the limiting process beyond the gelation time.

On considère des équations de coagulation de type Flory où les particules sont représentées par des vecteurs de dimension finie et le taux de coagulation entre deux particules de types x et y est donné par une forme bilinéaire $\mathit{y}·\mathit{A}\mathit{x}$, généralisant le noyau multiplicatif. Pour ces taux de coagulation, une transition de gélification se produit à un temps fini ${\mathit{t}}_{\mathrm{g}}\in (0,\infty )$, qui peut être donné exactement en termes d’un problème aux valeurs propres en dimensions finies. Nous prouvons une limite hydrodynamique pour le coagulant stochastique correspondant, y compris la transition de phase pour la plus grande particule, et exploitons un couplage avec des graphes aléatoires pour étendre l’analyse du processus limite au-delà du temps de gélification.