Concentration of quasi-stationary distributions for one-dimensional diffusions with applications

Abstract

We consider small noise perturbations to an ordinary differential equation (ODE) that have a uniform absorbing state and exhibit transient dynamics in the sense that interesting dynamical behaviors governed by transient states display over finite time intervals and the eventual dynamics is simply controlled by the absorbing state. To capture the transient states, we study the noise-vanishing concentration of the so-called quasi-stationary distributions (QSDs) that describe the dynamics before reaching the absorbing state. By establishing concentration estimates based on constructed uniform-in-noises Lyapunov functions, we show that QSDs tend to concentrate on the global attractor of the ODE as noises vanish, and that each limiting measure of QSDs, if exists, must be an invariant measure of the ODE. Overcoming difficulties caused by the degeneracy and singularity of noises at the absorbing state, we further show the tightness of the family of QSDs under additional assumptions motivated by applications, that not only validates a priori information on the concentration of QSDs, but also asserts the reasonability of using QSDs in the mathematical modeling of transient states. Our approaches to the concentration and tightness of QSDs are purely analytic without probabilistic heuristics. Applications to diffusion approximations of chemical reactions and birth-and-death processes of logistic type are also discussed. Rigorously studying the transient dynamics and characterizing the transient states, our study is of both theoretical and practical significance.

Nous considérons de petites perturbations par le bruit d’une équation différentielle ordinaire (EDO) qui ont un état d’absorption uniforme et présentent une dynamique transiente dans le sens où des comportements dynamiques intéressants régis par des états transients apparaissent sur des intervalles de temps finis et la dynamique finale est simplement contrôlée par l’état d’absorption. Pour capturer les états transients, nous étudions la concentration en fonction du bruit des distributions dites quasi-stationnaires (QSD) qui décrivent la dynamique avant d’atteindre l’état absorbant. En établissant des estimations de concentration basées sur des fonctions de Lyapunov construites uniformément par rapport au bruit, nous montrons que les QSD ont tendance à se concentrer sur l’attracteur global de l’EDO lorsque le bruit disparaît, et que chaque mesure limite des QSD, si elle existe, doit être une mesure invariante de l’EDO. Surmontant les difficultés causées par la dégénérescence et la singularité des bruits à l’état absorbant, nous montrons en outre la tension de la famille des QSD sous des hypothèses supplémentaires motivées par des applications, ce qui non seulement vérifie les informations a priori sur la concentration des QSD, mais aussi confirme le bien-fondé de l’utilisation des QSD dans la modélisation mathématique des états transients. Nos approches de la concentration et de la tension des QSD sont purement analytiques, sans heuristique probabiliste. Les applications aux approximations de diffusion des réactions chimiques et processus de naissance et de mort de type logistique sont également discutées. En étudiant rigoureusement la dynamique transiente et en caractérisant les états transients, notre étude présente un intérêt à la fois théorique et pratique.