Central limit theorems for general transportation costs

Abstract

We consider the problem of optimal transportation with general cost between an empirical measure and a general target probability on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, with $\mathit{d}\ge 1$. We provide results on asymptotic stability of optimal transport potentials under minimal regularity assumptions on the costs or the underlying probability. This stability is combined with a refined linearization technique based on the sequential compactness of the closed unit ball in ${\mathit{L}}^2(\mathit{P})$ for the weak topology and the strong convergence of Cesàro means along subsequences. As a result we obtain a CLT for the transportation cost under sharp smoothness and moment assumptions, giving a positive answer to a conjecture in (Ann. Probab. 47 (2019) 926–951) for the quadratic costs.

Nous considérons le problème du transport optimal avec coût général entre une mesure empirique et une probabilité cible générale sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$, avec $\mathit{d}\ge 1$. Nous fournissons des résultats sur la stabilité asymptotique des potentiels de transport optimal sous des hypothèses minimales de régularité sur les coûts ou les probabilités sous-jacentes. Cette stabilité est combinée avec une technique de linéarisation affinée basée sur la compacité séquentielle de la boule fermée unité dans ${\mathit{L}}^2(\mathit{P})$ pour la topologie faible et la convergence forte des moyennes de Cesàro le long de sous-suites. En conséquence, nous obtenons un Théorème Limite en distribution pour le coût de transport sous des hypothèses minimales, donnant une réponse positive à une conjecture dans (Ann. Probab. 47 (2019) 926–951) pour les coûts quadratiques.