On the Itô–Alekseev–Gröbner formula for stochastic differential equations

Abstract

In this article we establish a new formula for the difference of a test function of the solution of a stochastic differential equation and of the test function of an Itô process. The introduced formula essentially generalizes both the classical Alekseev–Gröbner formula from the literature on deterministic differential equations as well as the classical Itô formula from stochastic analysis. The discovered formula, which we suggest to refer to as Itô–Alekseev–Gröbner formula, is a powerful tool for deriving strong approximation rates for perturbations and approximations of stochastic ordinary and partial differential equations.

Dans cet article nous présentons une nouvelle formule qui exprime la différence entre une fonction test appliquée à une solution d’une équation différentielle stochastique et la même fonction test appliquée à un processus d’Itô. Cette formule généralise à la fois la formule classique d’Alekseev–Gröbner pour les équations différentielles déterministes et la formule d’Itô de l’analyse stochastique. Ainsi, nous suggérons de l’appeler formule d’Itô–Alekseev–Gröbner. Il s’agit d’un outil puissant pour dériver les taux d’approximation forte pour des perturbations et approximations d’équations différentielles stochastiques et d’équations à dérivées partielles stochastiques.