Random field induced order in two dimensions

Abstract

In this article we prove that a classical $\mathit{X}\mathit{Y}$ model subjected to weak i.i.d. random field pointing in a fixed direction exhibits residual magnetic order in ${\mathbb{Z}}^2$ and aligns perpendicular to the random field direction. The paper is a sequel to (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42) where the three-dimensional case was treated. Our approach is based on a multi-scale Peierls contour argument developed in (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42). On the microscopic scale we extract energetic costs from the occurrence of contours, which themselves are defined on a macroscopic scale. The technical challenges in ${\mathbb{Z}}^2$ stem from difficulties controlling the size and roughness of the fluctuation fields which model the short length-scale oscillations of near-optimizers of the random field Hamiltonian.

Dans cet article nous prouvons qu’un modèle $\mathit{X}\mathit{Y}$ classique soumis à un faible champ aléatoire i.i.d. pointant dans une direction fixe présente un ordre magnétique résiduel en ${\mathbb{Z}}^2$ et s’aligne perpendiculairement à la direction du champ aléatoire. Cet article est une suite de (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42) où le cas tridimensionnel a été traité. Notre approche est basée sur un argument de contour de Peierls multi-échelle développé dans (J. Stat. Phys. 142 (2011) 11–42). À l’échelle microscopique, nous extrayons les coûts énergétiques de l’apparition de contours, eux-mêmes définis à l’échelle macroscopique. Les défis techniques de ${\mathbb{Z}}^2$ proviennent des difficultés à contrôler la taille et la rugosité des champs de fluctuation qui modélisent les oscillations à courte échelle des quasi-optimiseurs de l’hamiltonien avec champ aléatoire.