Long-range models in 1D revisited

Abstract

In this short note, we revisit a number of classical results on long-range 1D percolation, Ising model and Potts models (Comm. Math. Phys. 84 (1982) 87–101; Comm. Math. Phys. 104 (1986) 547–571; J. Stat. Phys. 50 (1988) 1–40; Comm. Math. Phys. 118 (1988) 303–336). More precisely, we show that for Bernoulli percolation, FK percolation and Potts models, there is symmetry breaking for the $1/{\mathit{r}}^2$-interaction at large β, and that the phase transition is necessarily discontinuous. We also show, following the notation of (J. Stat. Phys. 50 (1988) 1–40) that ${\mathit{\beta }}^{\ast }(\mathit{q})=1$ for all $\mathit{q}\ge 1$.

Dans cette courte note, nous revisitons un certain nombre de résultats classiques sur la percolation unidimensionnelle à longue portée, le modèle d’Ising et les modèles de Potts (Comm. Math. Phys. 84 (1982) 87–101 ; Comm. Math. Phys. 104 (1986) 547–571 ; J. Stat. Phys. 50 (1988) 1–40 ; Comm. Math. Phys. 118 (1988) 303–336). Plus précisément, nous montrons que pour la percolation de Bernoulli, la percolation FK et les modèles de Potts, il y a une rupture de symétrie pour l’interaction en $1/{\mathit{r}}^2$ lorsque β est suffisamment grand, et la transition de phase est nécessairement discontinue. Nous montrons également, en suivant la notation de (J. Stat. Phys. 50 (1988) 1–40), que ${\mathit{\beta }}^{\ast }(\mathit{q})=1$ pour tous les $\mathit{q}\ge 1$.