On the rate of convergence to coalescing Brownian motions

Abstract

In this paper we study the rate of convergence of the iterates of i.i.d. random piecewise constant monotone maps to the time-1 transport map for the process of coalescing Brownian motions. We prove that the rate of convergence is given by a power law. The time-1 map for the coalescing Brownian motions can be viewed as a fixed point for a natural renormalization transformation acting in the space of probability laws for random piecewise constant monotone maps. Our result implies that this fixed point is exponentially stable.

Dans cet article nous étudions le taux de convergence des itérées de fonctions aléatoires monotones et constantes par morceaux i.i.d. vers l’application de transport du mouvement Brownien coalescents au temps 1. Nous prouvons que le taux de convergence est donné par une loi de puissance. Cette application de transport peut être vue comme le point fixe d’une transformation de renormalisation naturelle agissant sur l’espace des lois de probabilité pour les fonctions aléatoires monotones et constantes par morceaux. Notre résultat implique que ce point fixe est exponentiellement stable.