Ornstein–Zernike behavior for Ising models with infinite-range interactions

Abstract

We prove Ornstein–Zernike behavior for the large-distance asymptotics of the two-point function of the Ising model above the critical temperature under essentially optimal assumptions on the interaction. The main contribution of this work is that the interactions are not assumed to be of finite range. To the best of our knowledge, this is the first proof of OZ asymptotics for a nontrivial model with infinite-range interactions.

Our results actually apply to the Green function of a large class of “self-repulsive in average” models, including a natural family of self-repulsive polymer models that contains, in particular, the self-avoiding walk, the Domb–Joyce model and the killed random walk.

We aimed at a pedagogical and self-contained presentation.

Nous prouvons, sous des hypothèses essentiellement optimales sur l’interaction, que le comportement asymptotique de la fonction à 2-point du modèle d’Ising au-dessus de sa température critique prend la forme prédite par Ornstein et Zernike. La contribution principale de ce travail est que nous ne supposons pas l’interaction de portée finie. À notre connaissance, il s’agit de la première preuve du comportement Ornstein–Zernike pour un modèle non trivial avec des interactions de portée infinie.

Nos résultats s’appliquent plus généralement à la fonction de Green d’une grande classe de modèle « auto-répulsifs en moyenne », incluant une famille naturelle de modèles de polymère auto-répulsif à laquelle appartiennent, en particulier, la marche aléatoire auto-évitante, le modèle de Domb–Joyce et la marche aléatoire tuée.

Nous nous sommes efforcés de rendre notre présentation aussi pédagogique et complète que possible.