Near-maxima of the two-dimensional discrete Gaussian free field

Abstract

We consider the Discrete Gaussian Free Field (DGFF) in domains ${\mathit{D}}_{\mathit{N}}\subseteq {\mathbb{Z}}^2$ arising, via scaling by N, from nice domains $\mathit{D}\subseteq {\mathbb{R}}^2$. We study the statistics of the values order $\sqrt{log\mathit{N}}$ below the absolute maximum. Encoded as a point process on $\mathit{D}\times \mathbb{R}$, the scaled spatial distribution of these near-extremal level sets in ${\mathit{D}}_{\mathit{N}}$ and the field values (in units of $\sqrt{log\mathit{N}}$ below the absolute maximum) tends, as $\mathit{N}\to \infty$, in law to the product of the critical Liouville Quantum Gravity (cLQG) ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$ and the Rayleigh law. The convergence holds jointly with the extremal process, for which ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$ enters as the intensity measure of the limiting Poisson point process, and that of the DGFF itself; the cLQG defined by the limit field then coincides with ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$. While the limit near-extremal process is measurable with respect to the limit continuum GFF, the limit extremal process is not. Our results explain why the various ways to “norm” the lattice cLQG measure lead to the same limit object, modulo overall normalization.

Nous considérons le champ libre gaussien discret (DGFF) dans des domaines ${\mathit{D}}_{\mathit{N}}\subseteq {\mathbb{Z}}^2$ qu’on obtient, via une mise à l’échelle par N, à partir de domaines raisonnables $\mathit{D}\subseteq {\mathbb{R}}^2$. Nous étudions les statistiques des valeurs d’ordre $\sqrt{log\mathit{N}}$ en dessous du maximum absolu. Encodés dans un processus ponctuel sur $\mathit{D}\times \mathbb{R}$, la distribution spatiale mise à l’échelle de ces ensembles de niveaux proches du maximum sur ${\mathit{D}}_{\mathit{N}}$ et les valeurs du champ (en unités de $\sqrt{log\mathit{N}}$ en dessous du maximum absolu) convergent, pour $\mathit{N}\to \infty$, en loi vers le produit de la gravité quantique critique de Liouville (cLQG) ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$ et de la loi de Rayleigh. La convergence est valable conjointement avec le processus extrémal, pour lequel ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$ représente la mesure d’intensité du processus ponctuel de Poisson qui apparait à la limite, et avec le DGFF lui-même ; le cLQG défini par le champ limite coïncide alors avec ${\mathit{Z}}^{\mathit{D}}$. Bien que le processus limite des valeurs proches du maximum soit mesurable par rapport au GFF (continu) limite, le processus limite des valeurs proches du maximum ne l’est pas. Nos résultats expliquent pourquoi les différentes manières de régulariser la mesure cLQG du réseau conduisent au même objet limite, à une normalisation globale près.