Limit distributions of branching Markov chains

Abstract

We study branching Markov chains on a countable state space (space of types) $\mathcal{X}$ with the focus on the qualitative aspects of the limit behaviour of the evolving empirical population distributions. No conditions are imposed on the multitype offspring distributions at the points of $\mathcal{X}$ other than to have the same average and to satisfy a uniform $\mathit{L}log\mathit{L}$ moment condition. We show that the arising population martingale is uniformly integrable. Convergence of population averages of the branching chain is then put in connection with stationary spaces of the associated ordinary Markov chain on $\mathcal{X}$ (assumed to be irreducible and transient). Our principal result is the almost sure convergence of the empirical distributions to a random probability measure on the boundary of an appropriate compactification of $\mathcal{X}$. Final considerations concern the general interplay between the measure theoretic boundaries of the branching chain and the associated ordinary chain.

Nous étudions les chaînes de Markov branchantes sur un espace d’états (espace de types) dénombrable $\mathcal{X}$ en mettant l’accent sur les aspects qualitatifs du comportement limite de l’évolution des distributions empiriques de la population. Aucune condition n’est imposée sur les distributions multitypes des descendants des points de $\mathcal{X}$ autre que d’avoir la même moyenne et de satisfaire à une condition de moment de type $\mathit{L}log\mathit{L}$. Nous montrons que la martingale de population résultante est uniformément intégrable. Ensuite, nous établissons le lien entre la convergence des moyennes empiriques de la chaîne branchante et les espaces stationnaires de la chaîne de Markov ordinaire associée sur $\mathcal{X}$ (supposée irréductible et transiente). Notre résultat principal est la convergence presque sûre des distributions empiriques vers une mesure de probabilité aléatoire sur le bord d’une compactification appropriée de $\mathcal{X}$. Les considérations finales portent sur l’interaction générale entre les bords mesurables de la chaîne branchante et de la chaîne ordinaire associée.