Gap at 1 for the percolation threshold of Cayley graphs

Abstract

We prove that the set of possible values for the percolation threshold ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ of Cayley graphs has a gap at 1 in the sense that there exists ${\mathit{\epsilon }}_0>0$ such that for every Cayley graph G one either has ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})=1$ or ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})\le 1-{\mathit{\epsilon }}_0$. The proof builds on the new approach of Duminil-Copin, Goswami, Raoufi, Severo & Yadin (Duke Math. J. 169 (2020) 3539–3563) to the existence of phase transition using the Gaussian free field, combined with the finitary version of Gromov’s theorem on the structure of groups of polynomial growth of Breuillard, Green & Tao (Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012) 115–221).

Nous prouvons que l’ensemble des valeurs possibles pour les seuils critiques de percolation ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ de graphes de Cayley a une « lacune » en 1, dans le sens qu’il existe ${\mathit{\epsilon }}_0>0$ tel que pour tout graphe de Cayley G, on a soit ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})=1$, soit ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}(\mathit{G})\le 1-{\mathit{\epsilon }}_0$. La démonstration s’appuie sur la nouvelle approche de Duminil-Copin, Goswami, Raoufi, Severo & Yadin (Duke Math. J. 169 (2020) 3539–3563) pour prouver l’existence de la transition de phase en utilisant le champ libre gaussien, combinée avec la version finitaire du théorème de Gromov sur la structure des groupes à croissance polynomiale de Breuillard, Green & Tao (Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012) 115–221).