A Maxwell principle for generalized Orlicz balls

Abstract

In the 1980s, Diaconis and Freedman studied the low-dimensional projections of random vectors from the Euclidean unit sphere and the simplex in high dimensions, noting that the individual coordinates of these random vectors look like Gaussian and exponential random variables respectively. In subsequent works, Rachev and Rüschendorf and Naor and Romik unified these results by establishing a connection between ${\ell }_{\mathit{p}}^{\mathit{N}}$ balls and a p-generalized Gaussian distribution. In this paper, we study similar questions in a similar and significantly broader setting, looking at low-dimensional projections of random vectors uniformly distributed on sets of the form ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}:=\{({\mathit{s}}_1,\dots ,{\mathit{s}}_{\mathit{N}})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{N}}:{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\mathit{\varphi }({\mathit{s}}_{\mathit{i}})\le \mathit{t}\mathit{N}\}$, where $\mathit{\varphi }:\mathbb{R}\to [0,\infty ]$ is a function satisfying some fairly mild conditions. We find that there is a critical parameter ${\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ at which there is a phase transition in the behaviour of the low-dimensional projections: for $\mathit{t}>{\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ the coordinates of random vectors sampled from ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}$ behave like independent uniform random variables, but for $\mathit{t}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ however the Gibbs conditioning principle comes into play, and here there is a parameter ${\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}>0$ (the inverse temperature) such that the coordinates are approximately distributed according to a density proportional to ${\mathit{e}}^{-{\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}\mathit{\varphi }(\mathit{s})}$.

Dans les années 1980, Diaconis et Freedman ont étudié les projections en petites dimensions de vecteurs aléatoires de la sphère unitaire euclidienne et du simplexe en grandes dimensions, remarquant que les coordonnées individuelles de ces vecteurs aléatoires ressemblent respectivement à des variables aléatoires gaussiennes et exponentielles. Dans des travaux ultérieurs, Rachev et Rüschendorf et Naor et Romik ont unifié ces résultats en établissant une relation entre les boules ${\ell }_{\mathit{p}}^{\mathit{N}}$ et une distribution gaussienne p-généralisée. Dans cet article, nous étudions des questions analogues dans un cadre similaire et beaucoup plus large, en nous intéressant aux projections en petites dimensions de vecteurs aléatoires uniformément distribués sur des ensembles de la forme ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}:=\{({\mathit{s}}_1,\dots ,{\mathit{s}}_{\mathit{N}})\in {\mathbb{R}}^{\mathit{N}}:{\sum }_{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\mathit{\varphi }({\mathit{s}}_{\mathit{i}})\le \mathit{t}\mathit{N}\}$, où $\mathit{\varphi }:\mathbb{R}\to [0,\infty ]$ est une fonction satisfaisant à des conditions assez générales. Nous montrons qu’il existe un paramètre critique ${\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ pour lequel il y a une transition de phase dans le comportement des projections en petites dimensions : pour $\mathit{t}>{\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ les coordonnées des vecteurs aléatoires échantillonnés dans ${\mathit{B}}_{\mathit{\varphi },\mathit{t}}^{\mathit{N}}$ se comportent comme des variables aléatoires uniformes indépendantes, mais pour $\mathit{t}\le {\mathit{t}}_{\mathrm{crit}}$ le principe de conditionnement de Gibbs entre en jeu, et il existe dans ce cas un paramètre ${\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}>0$ (l’inverse de la température) tel que les coordonnées sont approximativement distribuées selon une densité proportionnelle à ${\mathit{e}}^{-{\mathit{\beta }}_{\mathit{t}}\mathit{\varphi }(\mathit{s})}$.