The conditional Gaussian multiplicative chaos structure underlying a critical continuum random polymer model on a diamond fractal

Abstract

We discuss a Gaussian multiplicative chaos (GMC) structure underlying a family of random measures ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ on a space Γ of directed pathways crossing a diamond fractal with Hausdorff dimension two. The laws of these random continuum path measures arise in a critical weak-disorder limiting regime for discrete directed polymers on disordered hierarchical graphs. For the analogous subcritical continuum polymer model in which the diamond fractal has Hausdorff dimension less than two, the random path measures can be constructed as subcritical GMCs through couplings to a spatial Gaussian white noise. This construction fails in the critical dimension two where, formally, an infinite coupling strength to the environmental noise would be required to generate the disorder. We prove, however, that there is a conditional GMC interrelationship between the random measures in the family ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ such that the law of ${\mathbf{M}}_{\mathit{r}}$ can be constructed as a subcritical GMC with random reference measure ${\mathbf{M}}_{\mathit{R}}$ for any choice of $\mathit{R}\in (-\infty ,\mathit{r})$. A similar GMC structure plausibly would hold for a critical continuum $(2+1)$-dimensional directed polymer model.

Nous discutons une structure de chaos multiplicatif gaussien (CMG) sous-jacente à une famille de mesures aléatoires ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ sur un espace Γ de chemins dirigés traversant un réseau fractal (de type diamant) avec une dimension de Hausdorff de deux. Les lois de ces mesures aléatoires de chemins continus apparaissent dans un régime limite critique de désordre faible pour les polymères discrets dirigés sur des graphes hiérarchiques désordonnés. Pour le modèle sous-critique analogue dans lequel le réseau fractal a une dimension de Hausdorff inférieure à deux, les mesures de chemins aléatoires peuvent être construites comme des CMG sous-critiques par couplages à un bruit blanc gaussien spatial. Cette construction échoue à la dimension critique deux où, formellement, un couplage infini avec l’environnement aléatoire serait nécessaire pour générer le désordre. Nous prouvons, cependant, qu’il existe une structure de correlation conditionnelle au niveau du CMG entre les mesures aléatoires dans la famille ${\{{\mathbf{M}}_{\mathit{r}}\}}_{\mathit{r}\in \mathbb{R}}$ telle que la loi de ${\mathbf{M}}_{\mathit{r}}$ peut être construite comme un CMG sous-critique avec une mesure de référence aléatoire ${\mathbf{M}}_{\mathit{R}}$ pour tout choix de $\mathit{R}\in (-\infty ,\mathit{r})$. Une structure similaire au niveau du CMG semblerait plausible pour un modèle critique $(2+1)$-dimensionnel de polymère dirigé.