Random nearest neighbor graphs: The translation invariant case

Abstract

If $(\mathit{\omega }(\mathit{e}))$ is a family of random variables (weights) assigned to the edges of ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$, the nearest neighbor graph is the directed graph induced by all edges $⟨\mathit{x},\mathit{y}⟩$ such that $\mathit{\omega }(\{\mathit{x},\mathit{y}\})$ is minimal among all neighbors y of x. That is, each vertex points to its closest neighbor, if the weights are viewed as edge-lengths. Nanda–Newman introduced nearest neighbor graphs when the weights are i.i.d. and continuously distributed and proved that a.s., all components of the undirected version of the graph are finite. We study the case of translation invariant, distinct weights, and prove that nearest neighbor graphs do not contain doubly-infinite directed paths. In contrast to the i.i.d. case, we show that in this stationary case, the graphs can contain either one or two infinite components (but not more) in dimension two, and k infinite components for any $\mathit{k}\in [1,\infty ]$ in dimension $\ge 3$. The latter constructions use a general procedure to exhibit a certain class of directed graphs as nearest neighbor graphs with distinct weights, and thereby characterize all translation invariant nearest neighbor graphs. We also discuss relations to geodesic graphs from first-passage percolation and implications for the coalescing walk model of Chaika–Krishnan.

Si $(\mathit{\omega }(\mathit{e}))$ est une famille de variables aléatoires (poids) affectées aux arêtes de ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$, le graphe à plus proches voisins est le graphe orienté induit par toutes les arêtes $⟨\mathit{x},\mathit{y}⟩$ tel que $\mathit{\omega }(\{\mathit{x},\mathit{y}\})$ soit minimal parmi les voisins y de x. Autrement dit, chaque sommet pointe vers son voisin le plus proche, si les longueurs des arêtes sont données par les poids. Nanda et Newman ont introduit ces graphes lorsque les poids sont i.i.d. avec distribution continue et ils ont prouvé que toutes les composantes de la version non orientée du graphe sont finies. Nous étudions le cas avec poids distincts et invariants par translation et nous prouvons que ces graphes ne contiennent pas de chemins orientés doublement infinis. Contrairement au cas i.i.d., nous montrons que dans ce cas stationnaire les graphes peuvent contenir une ou deux composantes infinies (mais pas plus) en dimension deux, et k composantes infinies pour tout $\mathit{k}\in [1,\infty ]$ en dimension trois ou plus. Dans la construction de ces graphes nous utilisons une procédure générale qui introduit une certaine classe de graphes orientés en tant que graphes à plus proches voisins avec des poids distincts, et nous caractérisont ainsi tous les graphes à plus proches voisins invariants par translation. Nous discutons également des relations avec les graphes géodésiques de la percolation de premier passage et des implications pour le modèle de marche coalescente de Chaika et Krishnan.