Scaling limit of small random perturbation of dynamical systems

Abstract

In this article, we prove that a small random perturbation of a dynamical system with multiple stable equilibria converges to a Markov chain whose states are neighborhoods of the deepest stable equilibria, under a suitable time-rescaling, provided that the perturbed dynamics is reversible in time. Such a result has been anticipated from the 70s, when the foundation of the mathematical treatment for this problem has been established by Freidlin and Wentzell, but the process level convergence was still open. We solve this problem by reducing the entire analysis to an investigation of the solution of an associated Poisson equation, and furthermore provide a method to carry out this analysis by using well-known test functions in a novel manner.

Dans cet article, nous prouvons qu’une petite perturbation aléatoire d’un système dynamique avec plusieurs équilibres stables converge vers une chaîne de Markov dont les états sont des voisinages des équilibres stables les plus profonds, sur une échelle temporelle adaptée, à condition que la dynamique perturbée soit réversible dans le temps. Un tel résultat a été anticipé dès les années 1970, lorsque les fondements du traitement mathématique de ce problème ont été établis par Freidlin et Wentzell, mais la convergence au niveau des processus restait ouverte jusqu’à aujourd’hui. Nous résolvons ce problème en réduisant l’analyse à l’étude de la solution d’une équation de Poisson associée. De plus, nous introduisons une méthode pour effectuer cette analyse en utilisant d’une manière inédite des fonctions de test bien connues.