Finite-size scaling, phase coexistence, and algorithms for the random cluster model on random graphs

Abstract

For $\mathrm{\Delta }\ge 5$ and q large as a function of Δ, we give a detailed picture of the phase transition of the random cluster model on random Δ-regular graphs. In particular, we determine the limiting distribution of the weights of the ordered and disordered phases at criticality and prove exponential decay of correlations and central limit theorems away from criticality. Our techniques are based on using polymer models and the cluster expansion to control deviations from the ordered and disordered ground states. These techniques also yield efficient approximate counting and sampling algorithms for the Potts and random cluster models on random Δ-regular graphs at all temperatures when q is large. This includes the critical temperature at which it is known the Glauber and Swendsen–Wang dynamics for the Potts model mix slowly. We further prove new slow-mixing results for Markov chains, most notably that the Swendsen–Wang dynamics mix exponentially slowly throughout an open interval containing the critical temperature. This was previously only known at the critical temperature.

Many of our results apply more generally to Δ-regular graphs satisfying a small-set expansion condition.

Pour $\mathrm{\Delta }\ge 5$ et q grand en fonction de Δ, nous donnons une description détaillée de la transition de phase du modèle de composantes connexes aléatoires (i.e., le modèle FK) sur des graphes Δ-réguliers aléatoires. En particulier, nous déterminons la distribution limite des poids des phases ordonnées et désordonnées au point critique et prouvons la décroissance exponentielle des corrélations et le comportement gaussien des fluctuations loin du point critique. Nos techniques sont basées sur l’utilisation de modèles de polymères et l’expansion en clusters pour contrôler les écarts par rapport aux états fondamentaux ordonnés et désordonnés. Ces techniques produisent également des algorithmes de comptage et d’échantillonnage efficaces pour les modèles de Potts et FK sur des graphes Δ-réguliers aléatoires à toutes les températures lorsque q est grand. Cela inclut la température critique à laquelle on sait que la dynamique de Glauber et de Swendsen–Wang pour le modèle de Potts mélangent lentement. Nous prouvons en outre de nouveaux résultats de mélange lent pour les chaînes de Markov, notamment que la dynamique de Swendsen–Wang mélange exponentiellement lentement tout au long d’un intervalle ouvert contenant la température critique. Ceci n’était auparavant connu qu’à la température critique.

Beaucoup de nos résultats s’appliquent plus généralement aux graphes Δ-réguliers qui satisfont une borne inférieure sur le nombre d’arêtes quittant chaque « petit ensemble » de sommets dans le graphe.