Equivalence of Liouville measure and Gaussian free field

Abstract

Given an instance h of the Gaussian free field on a planar domain D and a constant $\mathit{\gamma }\in (0,2)$, one can use various regularization procedures to make sense of the Liouville quantum gravity area measure $\mathit{\mu }:={\mathit{e}}^{\mathit{\gamma }\mathit{h}(\mathit{z})}\mathit{d}\mathit{z}$. It is known that the field h a.s. determines the measure ${\mathit{\mu }}_{\mathit{h}}$. We show that the converse is true: namely, h is measurably determined by ${\mathit{\mu }}_{\mathit{h}}$. More generally, given a random closed fractal subset $\mathcal{A}$ endowed with a Frostman measure σ whose support is $\mathcal{A}$ (independent of h), a Gaussian multiplicative chaos measure ${\mathit{\mu }}_{\mathit{\sigma },\mathit{h}}$ can be constructed. We give a mild condition on $(\mathcal{A},\mathit{\sigma })$ under which ${\mathit{\mu }}_{\mathit{\sigma },\mathit{h}}$ determines h restricted to $\mathcal{A}$, in the sense that it determines its harmonic extension off $\mathcal{A}$. Our condition is satisfied by the occupation measures of planar Brownian motion and SLE curves under natural parametrizations. Along the way we obtain general positive moment bounds for Gaussian multiplicative chaos. Contrary to previous results, this does not require any assumption on the underlying measure σ such as scale invariance, and hence may be of independent interest.

Etant donnée une réalisation h d’un champ libre Gaussien dans un domaine D du plan et une constante $\mathit{\gamma }\in (0,2)$ il est possible de donner un sens à la mesure aléatoire ${\mathit{\mu }}_{\mathit{h}}:={\mathit{e}}^{\mathit{\gamma }\mathit{h}(\mathit{z})}\mathit{d}\mathit{z}$ dite de gravité quantique de Liouville, dont il est connu qu’elle est une fonction mesurable du champ h. Nous montrons la réciproque de ce résultat : c’est-à-dire, h est entièrement déterminé de façon mesurable par la mesure ${\mathit{\mu }}_{\mathit{h}}$. Plus généralement, étant donné un ensemble fractal fermé $\mathcal{A}$ aléatoire équipé d’une mesure de Frostman de référence σ (tous deux indépendants de h), il est possible de construire le chaos multiplicatif Gaussien ${\mathit{\mu }}_{\mathit{\sigma },\mathit{h}}$ de h par rapport à σ. Nous donnons une condition simple et générique sur $(\mathcal{A},\mathit{\sigma })$ sous laquelle ${\mathit{\mu }}_{\mathit{\sigma },\mathit{h}}$ détermine la restriction de h à σ, ou plus précisément l’extension harmonique de h en dehors de $\mathcal{A}$. Cette condition est satisfaite par la mesure d’occupation du mouvement Brownien plan et par des courbes SLE munies de paramétrisations naturelles. En cours de route nous obtenons des résultats généraux sur les moments positifs du chaos multiplicatif Gaussien. Contrairement à de précédents travaux, nous ne faisons pas d’hypothèse sur la mesure de référence σ de type invariance par échelle. Les résultats ainsi obtenus peuvent donc être d’un intérêt indépendant.