Connecting eigenvalue rigidity with polymer geometry: Diffusive transversal fluctuations under large deviation

Abstract

We consider exponential directed last passage percolation (LPP) on ${\mathbb{Z}}^2$, a paradigm model of the Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) universality class, where ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ denotes the last passage time from $(1,1)$ to $(\mathit{n},\mathit{n})$, and ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathit{n}}$ denotes the corresponding polymer, i.e., the optimal path attaining ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$. The typical fluctuation of the geodesic from the straight line joining its endpoints is known to be of order ${\mathit{n}}^{2/3}$, a feature of KPZ universality. Despite considerable interest, the behaviour of the polymer under large deviation events for ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ had remained less understood. In this paper we consider the upper tail large deviation event ${\mathcal{U}}_{\mathit{\delta }}:=\{{\mathit{T}}_{\mathit{n}}\ge (4+\mathit{\delta })\mathit{n}\}$. We show that conditioning on ${\mathcal{U}}_{\mathit{\delta }}$ changes the transversal fluctuation exponent from $2/3$ to $1/2$, i.e., conditionally, the smallest strip around the diagonal that contains ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathit{n}}$ has width ${\mathit{n}}^{1/2+\mathit{o}(1)}$ with high probability. While earlier work by Deuschel and Zeitouni (Combin. Probab. Comput. 8 (1999) 247–263) had a $\mathit{o}(\mathit{n})$ upper bound for the transversal fluctuation conditional on the upper tail large deviations in Poissonian last passage percolation, the exponent $1/2$ is new and is expected to be universal across various planar last passage percolation models in the KPZ universality class. Our proof combines several different ideas exploiting the correspondence between last passage times in the exponential LPP model and the largest eigenvalue of the Laguerre Unitary Ensemble (LUE), including a stochastic monotonicity result for determinantal point processes, as well as recent advances in understanding rigidity properties of eigenvalues to obtain a sharp finite size correction to the well known large deviation rate function for the largest eigenvalue.

Nous considérons la percolation de dernier passage dirigée exponentielle (LPP) sur ${\mathbb{Z}}^2$, un modèle paradigmatique de la classe d’universalité de Kardar–Parisi–Zhang (KPZ), où ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ désigne le temps de dernier passage de $(1,1)$ à $(\mathit{n},\mathit{n})$, et ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathit{n}}$ désigne le polymère correspondant, i.e. le chemin optimal atteignant ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$. La fluctuation typique de la géodésique à partir de la ligne droite joignant ses extrémités est connue pour et est d’ordre ${\mathit{n}}^{2/3}$, une caractéristique de l’universalité KPZ. Malgré un intérêt considérable, le comportement du polymère sous des événements de grande déviation pour ${\mathit{T}}_{\mathit{n}}$ était moins compris. Dans cet article, nous considérons l’événement de grande déviation vers des grandes valeurs ${\mathcal{U}}_{\mathit{\delta }}:=\{{\mathit{T}}_{\mathit{n}}\ge (4+\mathit{\delta })\mathit{n}\}$. Nous montrons que le conditionnement à ${\mathcal{U}}_{\mathit{\delta }}$ change l’exposant de la fluctuation transversale de $2/3$ à $1/2$, i.e. que, conditionnellement, la plus petite bande autour de la diagonale qui contient ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathit{n}}$ a une largeur ${\mathit{n}}^{1/2+\mathit{o}(1)}$ avec une grande probabilité. Alors que les travaux antérieurs de Deuschel et Zeitouni (Combin. Probab. Comput. 8 (1999) 247–263) avaient une borne supérieure $\mathit{o}(\mathit{n})$ pour la fluctuation transversale conditionnelle aux grandes déviations vers des grandes valeurs dans la percolation de dernier passage poissonienne, l’exposant $1/2$ est nouveau et on s’attend à ce qu’il soit universel pour plusieurs modèles de percolation de dernier passage planaires dans la classe d’universalité KPZ. Notre preuve combine plusieurs idées différentes exploitant la correspondance entre les temps de dernier passage dans le modèle LPP exponentiel et la plus grande valeur propre de l’ensemble unitaire de Laguerre (LUE), y compris un résultat de monotonie stochastique pour les processus déterminantaux ponctuels, ainsi que des avancées récentes dans la compréhension des propriétés de rigidité des valeurs propres afin d’obtenir une correction précise de taille finie pour la fonction de taux de grande déviation bien connue pour la plus grande valeur propre.