Lyapunov exponents for truncated unitary and Ginibre matrices

Abstract

In this note, we show that the Lyapunov exponents of mixed products of random truncated Haar unitary and complex Ginibre matrices are asymptotically given by equally spaced ‘picket-fence’ statistics. We discuss how these statistics should originate from the connection between random matrix products and multiplicative Brownian motion on ${\mathrm{GL}}_{\mathit{n}}(\mathbb{C})$, analogous to the connection between discrete random walks and ordinary Brownian motion. Our methods are based on contour integral formulas for products of classical matrix ensembles from integrable probability.

Dans cette note, nous montrons que les exposants de Lyapunov des produits mixtes de matrices aléatoires unitaires de Haar tronquées et de matrices de Ginibre complexes sont asymptotiquement donnés par des statistiques de type “palissade” équidistantes. Nous discutons comment ces statistiques devraient provenir de la connection entre les produits de matrices aléatoires et le mouvement brownien multiplicatif sur ${\mathrm{GL}}_{\mathit{n}}(\mathbb{C})$, analogue à celle entre les marches aléatoires discrètes et le mouvement brownien ordinaire. Nos méthodes sont basées sur des formules d’intégrale de contour pour les produits d’ensembles matriciels classiques à partir de probabilités intégrables.