Gaussian fluctuations and free energy expansion for Coulomb gases at any temperature

Abstract

We obtain concentration estimates for the fluctuations of Coulomb gases in any dimension and in a broad temperature regime, including very small and very large temperature regimes which may depend on the number of points. We obtain a full Central Limit Theorem (CLT) for the fluctuations of linear statistics in dimension 2, valid for the first time down to microscales and for temperatures possibly tending to 0 or ∞ as the number of points diverges. We show that a similar CLT can also be obtained in any larger dimension conditional on a “no phase-transition” assumption, as soon as one can obtain a precise enough error rate for the expansion of the free energy – an expansion is obtained in any dimension, but the rate is so far not good enough to conclude. These CLTs can be interpreted as a convergence to the Gaussian Free Field. All the results are valid as soon as the test-function lives on a larger scale than the temperature-dependent minimal scale ${\mathit{\rho }}_{\mathit{\beta }}$ introduced in our previous work (Ann. Probab. 49 (2021) 46–121).

On obtient des résultats de concentration pour les fluctuations du gaz de Coulomb en toute dimension et dans un large régime de température, incluant des températures très petites et très grandes qui peuvent dépendre du nombre de points. On obtient un Théorème Central Limite (TCL) complet pour les fluctuations des statistiques linéaires en dimension 2, valable pour la première fois jusqu’aux échelles microscopiques et pour des températures pouvant tentre vers 0 ou l’infini quand le nombre de points diverge. On montre qu’un TCL semblable peut aussi être obtenu en toute dimension sous une condition d’absence de transition de phase, dès lors qu’on peut obtenir une erreur suffisamment petite dans le développement de l’énergie libre – un tel développement est prouvé en toute dimension, mais l’erreur n’est pas suffisamment petite pour conclure. Ces TCL sont valables dès que la fonction-test vit à une échelle supérieure à l’échelle minimale ${\mathit{\rho }}_{\mathit{\beta }}$ dépendant de la température, introduite dans le précédent travail (Ann. Probab. 49 (2021) 46–121).