Constrained-degree percolation in random environment

Abstract

We consider the Constrained-degree percolation model in random environment on the square lattice. In this model, each vertex v has an independent random constraint ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{v}}$ which takes the value $\mathit{j}\in \{0,1,2,3\}$ with probability ${\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}$. Each edge e attempts to open at a random uniform time ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ in $[0,1]$, independently of all other edges. It succeeds if at time ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ both its end-vertices have degrees strictly smaller than their respectively attached constraints. We show that this model undergoes a non-trivial phase transition when ${\mathit{\rho }}_3$ is sufficiently large. The proof consists of a decoupling inequality, the continuity of the probability for local events, and a coarse-graining argument.

Nous considérons le modèle de percolation à degré contraint dans un environnement aléatoire sur le réseau carré. Dans ce modèle, chaque sommet v a une contrainte aléatoire indépendante ${\mathit{\kappa }}_{\mathit{v}}$ qui prend la valeur $\mathit{j}\in \{0,1,2,3\}$ avec probabilité ${\mathit{\rho }}_{\mathit{j}}$. Chaque arête e tente de s’ouvrir à un temps uniforme aléatoire ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ dans $[0,1]$, indépendamment de toutes les autres arêtes. Il réussit si à l’instant ${\mathit{U}}_{\mathit{e}}$ ses deux sommets d’extrémité ont des degrés strictement inférieurs à leurs contraintes respectives attachées. Nous montrons que ce modèle subit une transition de phase non triviale lorsque ${\mathit{\rho }}_3$ est suffisamment grand. La preuve consiste en une inégalité de découplage, la continuité de la probabilité des événements locaux et un argument de renormalisation.