A simple backward construction of branching Brownian motion with large displacement and applications

Abstract

In this article, we study the extremal processes of branching Brownian motions conditioned on having an unusually large maximum. The limiting point measures form a one-parameter family and are the decoration point measures in the extremal processes of several branching processes, including branching Brownian motions with variable speed and multitype branching Brownian motions. We give a new, alternative representation of these point measures and we show that they form a continuous family. This also yields a simple probabilistic expression for the constant that appears in the large deviation probability of having a large displacement. As an application, we show that Bovier and Hartung’s (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 12 (2015) 261–291) results about variable speed branching Brownian motion also describe the extremal point process of branching Ornstein–Uhlenbeck processes.

Le présent article a pour objet l’étude du processus extrémal du mouvement Brownien branchant conditionné à avoir une particule anormalement loin à droite. Ces mesures ponctuelles limites forment une famille à un paramètre et apparaissent dans les processus extrémaux de plusieurs processus de branchement tels que le mouvement Brownien branchant avec vitesse variable ou certains mouvement Brownien branchants multitype. Nous donnons une nouvelle représentation de ces mesures ponctuelles et nous montrons qu’elles forment une famille continue de lois. Nous obtenons ainsi une expression probabiliste simple de la constante qui apparaît dans le principe de grande déviation pour un déplacement anormal de la particule la plus à droite d’un mouvement Brownien branchant. Finalement, nous appliquons ces résultats pour montrer que les travaux de Bovier et Hartung (ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat. 12 (2015) 261–291) sur le mouvement Brownien branchant avec vitesse variable décrivent également le processus extrémal du processus d’Ornstein–Uhlenbeck branchant.