Short cycles in high genus unicellular maps

Abstract

We study large uniform random maps with one face whose genus grows linearly with the number of edges, which are a model of discrete hyperbolic geometry. In previous works, several hyperbolic geometric features have been investigated. In the present work, we study the number of short cycles in a uniform unicellular map of high genus, and we show that it converges to a Poisson distribution. As a corollary, we obtain the law of the systole of uniform unicellular maps in high genus. We also obtain the asymptotic distribution of the vertex degrees in such a map.

Nous étudions les grandes cartes aléatoires uniformes à une face dont le genre croît linéairement avec le nombre d’arêtes, qui sont un modèle de géométrie hyperbolique discrète. Dans des travaux précédents, plusieurs propriétés géométriques hyperboliques ont été étudiées. Dans le présent travail, nous étudions le nombre de petits cycles dans une carte unicellulaire uniforme de grand genre, et nous montrons qu’il converge vers une distribution de Poisson. En corollaire, nous obtenons la loi de la systole des cartes unicellulaires uniformes de grand genre. Nous obtenons également la distribution asymptotique des degrés des sommets dans une telle carte.