Momenta spacing distributions in anharmonic oscillators and the higher order finite temperature Airy kernel

Abstract

We rigorously compute the integrable system for the limiting $(\mathit{N}\to \infty )$ distribution function of the extreme momentum of N noninteracting fermions when confined to an anharmonic trap $\mathit{V}(\mathit{q})={\mathit{q}}^{2\mathit{n}}$ for $\mathit{n}\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$ at positive temperature. More precisely, the edge momentum statistics in the harmonic trap $\mathit{n}=1$ are known to obey the weak asymmetric KPZ crossover law which is realized via the finite temperature Airy kernel determinant or equivalently via a Painlevé-II integro-differential transcendent, cf. (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 56 (2) (2020) 1072–1098; Comm. Pure Appl. Math. 64 (4) (2011) 466–537). For general $\mathit{n}\ge 2$, a novel higher order finite temperature Airy kernel has recently emerged in physics literature (Phys. Rev. Lett. 121 (3) (2018) 030603) and we show that the corresponding edge law in momentum space is now governed by a distinguished Painlevé-II integro-differential hierarchy. Our analysis is based on operator-valued Riemann–Hilbert techniques which produce a Lax pair for an operator-valued Painlevé-II ODE system that naturally encodes the aforementioned hierarchy. As byproduct, we establish a connection of the integro-differential Painlevé-II hierarchy to a novel integro-differential mKdV hierarchy.

Nous calculons rigoureusement, pour $\mathit{N}\to \infty$, le système intégrable associé à la fonction de répartition de l’impulsion maximale d’un système de N fermions libres, lorsque les fermions sont confinés dans un potentiel anharmonique $\mathit{V}(\mathit{q})={\mathit{q}}^{2\mathit{n}}$, avec $\mathit{n}\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$ et à température positive. Plus précisément, il est bien connu que, dans le cas du potentiel harmonique, i.e. pour $\mathit{n}=1$, les statistiques de l’impulsion maximale sont décrites par la loi de transition de KPZ dans le régime faiblement asymétrique, qui s’écrit à l’aide du déterminant du noyau d’Airy à température finie ou, de manière équivalente, via une fonction transcendante du type Painlevé II intégro-différentielle (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 56 (2) (2020) 1072–1098 ; Comm. Pure Appl. Math. 64 (4) (2011) 466–537). Pour le cas général $\mathit{n}\ge 2$, un nouveau noyau d’Airy d’ordre supérieur à température finie est récemment apparu dans la littérature en physique (Phys. Rev. Lett. 121 (3) (2018) 030603), et nous montrons que la loi limite au bord, dans l’espace des moments, est décrite par une version intégro-différentielle de la hiérarchie de Painlevé II. Notre analyse est basée sur des problèmes de Riemann–Hilbert à valeurs dans les opérateurs, qui produisent une paire de Lax pour un système d’EDO de Painlevé II à valeurs dans les opérateurs. Ce système encode naturellement la hiérarchie susmentionnée. À partir de cette étude, nous établissons aussi une connexion entre la hiérarchie de Painlevé II intégro-différentielle et une nouvelle hiérarchie de Korteweg–de Vries modifiée intégro-différentielle.