In this paper, we study the number of real roots of random trigonometric polynomials with iid coefficients. When the coefficients have zero mean, unit variance and some finite high moments, we show that the variance of the number of real roots is asymptotically linear in terms of the expectation; furthermore the multiplicative constant in this linear relationship depends only on the kurtosis of the common distribution of the polynomial’s coefficients. This result is in sharp contrast to the classical Kac polynomials whose corresponding variance depends only on the first two moments. Our result is perhaps the first paper to establish the variance for general distribution of the coefficients including discrete ones, for a model of random polynomials outside the family of the Kac polynomials. Our method gives a fine comparison framework throughout Edgeworth expansion, asymptotic Kac–Rice formula and a detailed analysis of characteristic functions.

Dans cet article, nous étudions le nombre de zéros réels de polynômes trigonométriques avec coefficients i.i.d. Quand les coefficients sont centrés, réduits, et possèdent des moments finis d’ordre suffisamment élevé, nous montrons que la variance du nombre de zéros est asymptotiquement linéaire en son espérance ; de plus, la constante multiplicative dans cette relation linéaire dépend seulement du kurtosis de la loi commune des coefficients du polynôme. Ce résultat contraste fortement avec les classiques polynômes de Kac pour lesquels la variance ne dépend que des deux premiers moments. Il s’agit probablement du premier résultat sur ce type de questions pour des lois générales des coefficients, y compris des lois discrètes, pour des polynômes qui ne sont pas dans la famille des polynômes de Kac. L’expansion de Edgeworth, la formule asymptotique de Kac–Rice et l’analyse précise des fonctions caractéristiques sont les outils principaux de notre approche.