Fluctuations of the overlap at low temperature in the 2-spin spherical SK model

Abstract

We describe the fluctuations of the overlap between two replicas in the 2-spin spherical SK model about its limiting value in the low temperature phase. We show that the fluctuations are of order ${\mathit{N}}^{-1/3}$ and are given by a simple, explicit function of the eigenvalues of a matrix drawn from the Gaussian Orthogonal Ensemble. We show that this quantity converges and describe its limiting distribution in terms of the ${\mathrm{Airy}}_1$ random point field (i.e., the joint limit of the extremal eigenvalues of the GOE) from random matrix theory.

Nous décrivons les fluctuations du produit scalaire entre deux copies (“replicas”) dans le modèle de Sherrington–Kirkpatrick quadratique autour de sa valeur limite dans la phase de basse température. Nous démontrons que la taille de ces fluctuations est d’ordre ${\mathit{N}}^{-1/3}$ et qu’elles s’expriment comme un function simple des valeurs propres d’une matrice aléatoire tirée du Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE). Nous montrons que cette quantité converge en loi et décrivons la loi limite à l’aide d’un champ de points aléatoires ${\mathrm{Airy}}_1$ de la théorie des matrices aléatoires, c’est-à-dire du champ des valeurs propres extremes du GOE.