On the threshold of spread-out contact process percolation

Abstract

We study the stationary distribution of the (spread-out) d-dimensional contact process from the point of view of site percolation. In this process, vertices of ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ can be healthy (state 0) or infected (state 1). With rate one infected sites recover, and with rate λ they transmit the infection to some other vertex chosen uniformly within a ball of radius R. The classical phase transition result for this process states that there is a critical value ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$ such that the process has a non-trivial stationary distribution if and only if $\mathit{\lambda }>{\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$. In configurations sampled from this stationary distribution, we study nearest-neighbor site percolation of the set of infected sites; the associated percolation threshold is denoted ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})$. We prove that ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})$ converges to $1/(1-{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$ as R tends to infinity, where ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ is the threshold for Bernoulli site percolation on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$. As a consequence, we prove that ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})>{\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$ for large enough R, answering an open question of (Probabilites et Statistiques 42 (2006) 223–243) in the spread-out case.

Nous étudions, du point de vue de la percolation par sites, la distribution stationnaire du processus de contact (avec transmission à longue portée) en dimension d. Dans ce processus, un sommet de ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ peut être sain (état 0) ou infecté (état 1). À taux un, les sommets infectés se rétablissent et à taux λ, ils transmettent l’infection à un autre sommet t choisi uniformément dans une boule de rayon R. Le résultat classique de transition de phase pour ce processus indique qu’il existe une valeur critique ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$ telle que le processus a une distribution stationnaire non triviale si et seulement si $\mathit{\lambda }>{\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$. Sur les configurations échantillonnées selon distribution stationnaire, nous étudions la percolation par sites et aux plus proches voisins de l’ensemble des sites infectés ; le seuil de percolation associé est noté ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})$. Nous montrons que ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})$ converge vers $1/(1-{\mathit{p}}_{\mathit{c}})$ lorsque R tend vers l’infini, où ${\mathit{p}}_{\mathit{c}}$ est le seuil de la percolation par sites de Bernoulli sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$. En conséquence, nous prouvons que ${\mathit{\lambda }}_{\mathit{p}}(\mathit{R})>{\mathit{\lambda }}_{\mathit{c}}(\mathit{R})$ pour R assez grand, répondant à une question ouverte de (Probabilites et Statistiques 42 (2006) 223–243).