Longest increasing paths with Lipschitz constraints

Abstract

The Hammersley problem asks for the maximal number of points in a monotonous path through a Poisson point process. It is exactly solvable and notoriously known to belong to the KPZ universality class, with a cube-root scaling for the fluctuations. Here we introduce and analyze a variant in which we impose a Lipschitz condition on paths. Thanks to a coupling with the classical Hammersley problem we observe that this variant is also exactly solvable. It allows us to derive first and second order asymptotics. It turns out that the cube-root scaling only holds for certain choices of the Lipschitz constants.

Le problème d’Hammersley consiste à étudier nombre maximal de points d’un processus ponctuel de Poisson par lequel un chemin monotone peut passer. Ce problème est exactement soluble et il appartient notoirement à la classe d’universalité KPZ, avec des fluctuations d’ordre la racine cubique du nombre de points pris. Nous introduisons et analysons ici une variante dans laquelle nous imposons une condition de Lipschitz sur les chemins. Grâce à un couplage avec le problème classique d’Hammersley, nous observons que cette variante est également exactement soluble. Ceci nous permet d’en déduire des asymptotiques du premier et du second ordre. Il s’avère que des fluctuations d’ordre racine cubique n’apparaissent que pour certains choix des constantes de Lipschitz.