Abstract
We study the stationary distribution of the (spread-out) d-dimensional contact process from the point of view of site percolation. In this process, vertices of can be healthy (state 0) or infected (state 1). With rate one infected sites recover, and with rate λ they transmit the infection to some other vertex chosen uniformly within a ball of radius R. The classical phase transition result for this process states that there is a critical value such that the process has a non-trivial stationary distribution if and only if . In configurations sampled from this stationary distribution, we study nearest-neighbor site percolation of the set of infected sites; the associated percolation threshold is denoted . We prove that converges to as R tends to infinity, where is the threshold for Bernoulli site percolation on . As a consequence, we prove that for large enough R, answering an open question of (Probabilites et Statistiques 42 (2006) 223–243) in the spread-out case.
Nous étudions, du point de vue de la percolation par sites, la distribution stationnaire du processus de contact (avec transmission à longue portée) en dimension d. Dans ce processus, un sommet de peut être sain (état 0) ou infecté (état 1). À taux un, les sommets infectés se rétablissent et à taux λ, ils transmettent l’infection à un autre sommet t choisi uniformément dans une boule de rayon R. Le résultat classique de transition de phase pour ce processus indique qu’il existe une valeur critique telle que le processus a une distribution stationnaire non triviale si et seulement si . Sur les configurations échantillonnées selon distribution stationnaire, nous étudions la percolation par sites et aux plus proches voisins de l’ensemble des sites infectés ; le seuil de percolation associé est noté . Nous montrons que converge vers lorsque R tend vers l’infini, où est le seuil de la percolation par sites de Bernoulli sur . En conséquence, nous prouvons que pour R assez grand, répondant à une question ouverte de (Probabilites et Statistiques 42 (2006) 223–243).
Funding Statement
The work of B. Ráth is partially supported by Postdoctoral Fellowship NKFI-PD-121165 and grant NKFI-FK-123962 of NKFI (National Research, Development and Innovation Office), the Bolyai Research Scholarship of the Hungarian Academy of Sciences and the ÚNKP-19-4-BME-85 New National Excellence Program of the Ministry for Innovation and Technology.
Acknowledgments
The authors would like to thank Thomas Beekenkamp and Markus Heydenreich for helpful discussions, Jan Swart for suggesting the reference [25] and Stein Andreas Bethuelsen for pointing out the argument presented in Remark 1.5. Finally, the authors would like to thank the three anonymous referees for their careful reading of the manuscript and helpful feedback.
Citation
Balázs Ráth. Daniel Valesin. "On the threshold of spread-out contact process percolation." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 58 (3) 1808 - 1848, August 2022. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1214
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