Logarithmic correction to resistance

Abstract

We study the trace of the incipient infinite oriented branching random walk in ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}\times {\mathbb{Z}}_{+}$ when the dimension is $\mathit{d}=6$. Under suitable moment assumptions, we show that the electrical resistance between the root and level n is $\mathit{O}(\mathit{n}{log}^{-\mathit{\xi }}\mathit{n})$ for a $\mathit{\xi }>0$ that does not depend on details of the model.

Nous étudions la trace de la marche aléatoire branchante critique conditionnée à être infinie sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}\times {\mathbb{Z}}_{+}$, en dimension $\mathit{d}=6$. Sous des hypothèses appropriées sur les moments de la marche et de la loi de reproduction, nous démontrons que la résistance électrique entre la racine et le niveau n est d’ordre $\mathit{O}(\mathit{n}{log}^{-\mathit{\xi }}\mathit{n})$ pour un certain $\mathit{\xi }>0$ qui ne dépend pas des détails du modèle.