Crossing estimates from metric graph and discrete GFF

Abstract

We compare level-set percolation for Gaussian free field (GFF) defined on a rectangular subset of $\mathit{\delta }{\mathbb{Z}}^2$ to level-set percolation for GFF defined on the corresponding metric graph as the mesh size δ goes to 0. In particular, we look at the probability that there is a path that crosses the rectangle in the horizontal direction on which the field is positive. We show this probability is strictly larger in the discrete graph. In the metric graph case, we show that for appropriate boundary conditions the probability that there exists a closed pivotal edge for the horizontal crossing event decays logarithmically in δ. In the discrete graph case, we compute the limit of the probability of a horizontal crossing for appropriate boundary conditions.

Nous comparons la percolation des ensembles de niveau d’un champ libre Gaussien (GFF) discret défini sur un sous-ensemble rectangulaire de $\mathit{\delta }{\mathbb{Z}}^2$ avec la percolation des ensembles de niveau pour le GFF défini sur le graphe métrique correspondant lorsque la taille du maillage passe à zéro. En particulier, on regarde la probabilité qu’il existe un chemin qui traverse le rectangle dans la direction horizontale sur lequel le champ est positif. Nous montrons que cette probabilité est strictement plus grande dans le graphe discret. Dans le cas du graphe métrique, nous montrons que, sous des conditions au bord appropriées, la probabilité qu’il existe une arête pivot fermée pour l’événement de croisement horizontal décroît de manière logarithmique en δ. Dans le cas d’un graphe discret, nous calculons la limite de la probabilité d’un croisement horizontal sous des conditions au bord appropriées.