Zero kinetic undercooling limit in the supercooled Stefan problem

Abstract

We study the solutions of the one-phase supercooled Stefan problem with kinetic undercooling, which describes the freezing of a supercooled liquid, in one spatial dimension. Assuming that the initial temperature lies between the equilibrium freezing point and the characteristic invariant temperature throughout the liquid our main theorem shows that, as the kinetic undercooling parameter tends to zero, the free boundary converges to the (possibly irregular) free boundary in the supercooled Stefan problem without kinetic undercooling, whose uniqueness has been recently established in (Delarue, Nadtochiy and Shkolnikov (2019), Ledger and Søjmark (2018)). The key tools in the proof are a Feynman–Kac formula, which expresses the free boundary in the problem with kinetic undercooling through a local time of a reflected process, and a resulting comparison principle for the free boundaries with different kinetic undercooling parameters.

Nous étudions les solutions de la phase unique de surfusion du problème de Stefan, avec surfusion cinétique, qui décrit le gel d’un liquide en surfusion en une dimension spatiale. En supposant que la température initiale est entre le point d’équilibre de gel et la température invariante caractéristique dans le liquide, notre théorème principal montre que, lorsque le paramètre de surfusion cinétique tend vers 0, la frontière libre converge vers la frontière libre (éventuellement irrégulière) dans le problème de surfusion de Stefan sans surfusion cinétique. L’unicité de cette dernière a été montrée récemment dans (Delarue, Nadtochiy and Shkolnikov (2019), Ledger and Søjmark (2018)). Les outils clés de la preuve sont une formule de Feynman–Kac, qui exprime la frontière libre dans le problème avec surfusion cinétique à travers le temps local d’un processus réfléchi, et un principe de comparaison pour les frontières libres avec différents paramètres de surfusion cinétique.