Geometric convergence bounds for Markov chains in Wasserstein distance based on generalized drift and contraction conditions

Abstract

Let ${({\mathit{X}}_{\mathit{n}})}_{\mathit{n}=0}^{\infty }$ denote a Markov chain on a Polish space that has a stationary distribution ϖ. This article concerns upper bounds on the Wasserstein distance between the distribution of ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}$ and ϖ. In particular, an explicit geometric bound on the distance to stationarity is derived using generalized drift and contraction conditions whose parameters vary across the state space. These new types of drift and contraction allow for sharper convergence bounds than the standard versions, whose parameters are constant. Application of the result is illustrated in the context of a non-linear autoregressive process and a Gibbs algorithm for a random effects model.

Soit ${({\mathit{X}}_{\mathit{n}})}_{\mathit{n}=0}^{\infty }$ une chaîne de Markov définie sur un espace polonais qui a une distribution stationnaire ϖ. Cet article s’intéresse aux bornes supérieures pour la distance de Wasserstein entre les distributions ${\mathit{X}}_{\mathit{n}}$ et ϖ. En particulier, une borne géométrique explicite est obtenue sur la distance à l’équilibre en utilisant des conditions de dérive et de contraction dont les paramètres varient dans l’espace d’états. Ces nouveaux types de dérive et contraction permettent d’obtenir des bornes de convergence plus précises que les versions standard où les paramètres sont constants. Des applications de ce résultat sont données dans le contexte des processus auto-régressifs non-linéaires et dans le contexte d’un algorithme de Gibbs pour le modèle à effets aléatoires.