Spectral analysis of the zigzag process

Abstract

The zigzag process is a variant of the telegraph process with position dependent switching intensities. A characterization of the ${\mathit{L}}^2$-spectrum for the generator of the one-dimensional zigzag process is obtained in the case where the marginal stationary distribution on $\mathbb{R}$ is unimodal and the refreshment intensity is zero. Sufficient conditions are obtained for a spectral mapping theorem, mapping the spectrum of the generator to the spectrum of the corresponding Markov semigroup. Furthermore results are obtained for symmetric stationary distributions and for perturbations of the spectrum, in particular for the case of a non-zero refreshment intensity. In the examples we consider (including a Gaussian target distribution) a slight increase of the refreshment intensity above zero results in a larger ${\mathit{L}}^2$-spectral gap, corresponding to an improved convergence in ${\mathit{L}}^2$.

Le processus de ZigZag est une variante du processus du télégraphe avec des intensités de retournement dépendant de la position. Nous obtenons une caractérisation du spectre en norme ${\mathit{L}}^2$ du générateur du processus de zigzag unidimensionnel, dans le cas où la distribution marginale stationnaire sur $\mathbb{R}$ est unimodale, avec une fréquence de rééchantillonnage nulle. Nous obtenons des conditions suffisantes pour un théorème d’isomorphisme spectral, identifiant le spectre du générateur à celui du semi-groupe de Markov correspondant. Par ailleurs, nous obtenons des résultats pour les distributions stationnaires symétriques ainsi que pour les perturbations du spectre dans le cas particulier d’une fréquence de rééchantillonnage non nulle. Enfin, nous considérons dans les exemples (avec une distribution cible gaussienne) un faible taux de rafraichissement positif par rapport aux résultats du taux nul, ce qui induit une plus grande bande dans le spectre ${\mathit{L}}^2$, correspondant à une convergence améliorée en norme ${\mathit{L}}^2$.