Renormalisation from non-geometric to geometric rough paths

Abstract

The Hairer–Kelly map has been introduced for establishing a correspondence between geometric and non-geometric rough paths. Recently, a new renormalisation on rough paths has been proposed in (Proc. Lond. Math. Soc. 121(2) (2020) 220–251), built on this map and the Lyons–Victoir extension theorem. In this work, we compare this renormalisation with the existing ones such as BPHZ and the local products renormalisations. We prove that they commute in a certain sense with the Hairer–Kelly map and exhibit an explicit formula in the framework of (Proc. Lond. Math. Soc. 121(2) (2020) 220–251). We also see how the renormalisation behaves in the alternative approach in (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55(2) (2019) 1131–1148) for moving from non-geometric to geometric rough paths.

L’application de Hairer–Kelly a été introduite pour établir une correspondance entre les chemins rugueux géométriques et non-géométriques. Récemment, une nouvelle renormalisation sur les chemins rugueux a été proposée dans (Proc. Lond. Math. Soc. 121(2) (2020) 220–251), construite d’après cette application et le théorème d’extension de Lyons–Victoir. Dans ce travail, on compare cette renormalisation avec celles déjà existantes comme la renormalisation BPHZ et la renormalisation des produits locaux. On montre qu’elles commutent dans un certain sens avec l’application de Hairer–Kelly et on dévoile une formule explicite dans le contexte de (Proc. Lond. Math. Soc. 121(2) (2020) 220–251). On considère aussi le comportement de ces renormalisations dans l’approche alternative (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55(2) (2019) 1131–1148) qui permet de passer d’un chemin rugueux non-géométrique à un chemin rugueux géométrique.