Central limit theorems for parabolic stochastic partial differential equations

Abstract

Let ${\{\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})\}}_{\mathit{t}\ge 0,\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}$ denote the solution of a d-dimensional nonlinear stochastic heat equation that is driven by a Gaussian noise, white in time with a homogeneous spatial covariance that is a finite Borel measure f and satisfies Dalang’s condition. We prove two general functional central limit theorems for occupation fields of the form ${\mathit{N}}^{-\mathit{d}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}\mathit{g}(\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x}))\mathit{\psi }(\mathit{x}/\mathit{N})\mathrm{d}\mathit{x}$ as $\mathit{N}\to \infty$, where g runs over the class of Lipschitz functions on ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ and $\mathit{\psi }\in {\mathit{L}}^2({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$. The proof uses Poincaré-type inequalities, Malliavin calculus, compactness arguments, and Paul Lévy’s classical characterization of Brownian motion as the only mean zero, continuous Lévy process. Our result generalizes central limit theorems of Huang et al. (Stochastic Process. Appl. 131 (2020) 7170–7184; Stoch. Partial Differ. Equ., Anal. Computat. 8 (2020) 402–421) valid when $\mathit{g}(\mathit{u})=\mathit{u}$ and $\mathit{\psi }={\mathbf{1}}_{{[0,1]}^{\mathit{d}}}$.

Soit ${\{\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x})\}}_{\mathit{t}\ge 0,\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}$ la solution d’une équation de la chaleur stochastique non-linéaire d-dimensionnelle, perturbée par un bruit gaussien, blanc en temps et avec une covariance homogène en espace donnée par une mesure de Borel finie qui satisfait la condition de Dalang. Nous démontrons deux théorèmes de la limite centrale fonctionnels pour des champs d’occupation de la forme ${\mathit{N}}^{-\mathit{d}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathit{d}}}\mathit{g}(\mathit{u}(\mathit{t},\mathit{x}))\mathit{\psi }(\mathit{x}/\mathit{N})\mathrm{d}\mathit{x}$ quand $\mathit{N}\to \infty$, où g est une function lipschitzienne sur ${\mathbb{R}}^{\mathit{d}}$ et $\mathit{\psi }\in {\mathit{L}}^2({\mathbb{R}}^{\mathit{d}})$. La preuve utilise des inegalités de type Poincaré, le calcul de Malliavin, des arguments de compacité et la caractérisation du mouvement brownien comme le seul processus de Lévy continu de moyenne nulle. Notre résultat généralise les théorèmes de la limite centrale de Huang et al (Stochastic Process. Appl. 131 (2020) 7170–7184 ; Stoch. Partial Differ. Equ., Anal. Computat. 8 (2020) 402–421) qui sont valables lorsque $\mathit{g}(\mathit{u})=\mathit{u}$ et $\mathit{\psi }={\mathbf{1}}_{{[0,1]}^{\mathit{d}}}$.