The Brownian disk viewed from a boundary point

Abstract

We provide a new construction of Brownian disks in terms of forests of continuous random trees equipped with nonnegative labels corresponding to distances from a distinguished point uniformly distributed on the boundary of the disk. This construction shows in particular that distances from the distinguished point evolve along the boundary as a five-dimensional Bessel bridge. As an important ingredient of our proofs, we show that the uniform measure on the boundary, as defined in the earlier work of Bettinelli and Miermont, is the limit of the suitably normalized volume measure on a small tubular neighborhood of the boundary. Our construction also yields a simple proof of the equivalence between the definition of the Brownian half-plane given by Gwynne and Miller as the scaling limit of the uniform infinite half-plane quadrangulation and the alternative definition proposed by Caraceni and Curien.

Nous donnons une nouvelle construction du disque brownien à partir d’une forêt d’arbres aléatoires continus munis de labels positifs correspondant aux distances depuis un point distingué uniformément distribué sur la frontière du disque. Cette construction montre en particulier que les distances depuis le point distingué évoluent le long de la frontière selon un pont de Bessel de dimension 5. Un ingrédient important de nos preuves consiste à montrer que la mesure uniforme sur la frontière, définie dans le travail précédent de Bettinelli et Miermont, est limite de la mesure de volume convenablement normalisée sur un petit voisinage tubulaire de la frontière. Notre construction fournit aussi une preuve simple de l’équivalence entre la définition du demi-plan brownien donnée par Gwynne et Miller comme limite d’échelle de la quadrangulation infinie uniforme du demi-plan et la définition alternative proposée par Caraceni et Curien.