Rates of convergence in the central limit theorem for martingales in the non stationary setting

Abstract

In this paper, we give rates of convergence, for minimal distances and for the uniform distance, between the law of partial sums of martingale differences and the limiting Gaussian distribution. More precisely, denoting by ${\mathit{P}}_{\mathit{X}}$ the law of a random variable X and by ${\mathit{G}}_{\mathit{a}}$ the normal distribution $\mathcal{N}(0,\mathit{a})$, we are interested by giving quantitative estimates for the convergence of ${\mathit{P}}_{{\mathit{S}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{\mathit{V}}_{\mathit{n}}}}$ to ${\mathit{G}}_1$, where ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ is the partial sum associated with either martingale differences sequences or more general dependent sequences, and ${\mathit{V}}_{\mathit{n}}=Var({\mathit{S}}_{\mathit{n}})$. Applications to linear statistics, non stationary ρ-mixing sequences and sequential dynamical systems are given.

Dans cet article nous donnons des vitesses de convergence, pour des distances minimales ainsi que pour la distance uniforme, entre la loi des sommes partielles de différences de martingales et la loi Gaussienne limite. Plus précisément, en notant ${\mathit{P}}_{\mathit{X}}$ la loi d’une variable aléatoire X et ${\mathit{G}}_{\mathit{a}}$ la loi normale $\mathcal{N}(0,\mathit{a})$, nous donnons des estimées quantitatives de la vitesse de convergence de ${\mathit{P}}_{{\mathit{S}}_{\mathit{n}}/\sqrt{{\mathit{V}}_{\mathit{n}}}}$ vers ${\mathit{G}}_1$, où ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ est la somme partielle formée à partir de différences de martingales ou d’une suite de variables dépendantes, et ${\mathit{V}}_{\mathit{n}}=Var({\mathit{S}}_{\mathit{n}})$. Nous présentons également des applications du résultat principal à certaines statistiques linéaires, à des suites ρ-mélangeantes non stationnaires, ainsi qu’à une classe de systèmes dynamiques séquentiels.