Random walk in cooling random environment: Recurrence versus transience and mixed fluctuations

Abstract

This is the third in a series of papers in which we consider one-dimensional Random Walk in Cooling Random Environment (RWCRE). The latter is obtained by starting from one-dimensional Random Walk in Random Environment (RWRE) and resampling the environment along a sequence of deterministic times, called refreshing times. In the present paper we explore two questions for general refreshing times. First, we investigate how the recurrence versus transience criterion known for RWRE changes for RWCRE. Second, we explore the fluctuations for RWCRE when RWRE is either recurrent or satisfies a classical central limit theorem. We show that the answer depends in a delicate way on the choice of the refreshing times. An overarching goal of our paper is to investigate how the behaviour of a random process with a rich correlation structure can be affected by resettings.

Ceci est le troisième d’une série d’articles dans lesquels nous considérons une marche aléatoire unidimensionnelle dans un milieu aléatoire refroidissant (MAMAR). Ce processus est obtenu en partant d’une marche aléatoire unidimensionnelle dans un milieu aléatoire (MAMA) et en rafraîchissant l’environnement le long d’une séquence de temps déterministes, appelée temps de rafraîchissement. Dans le présent article, nous explorons deux questions pour des moments de rafraîchissement généraux. Tout d’abord, nous examinons comment le critère de récurrence connu pour MAMA change pour MAMAR. Deuxièmement, nous explorons les fluctuations de MAMAR lorsque MAMA est récurrent ou satisfait un théorème central limite classique. Nous montrons que la réponse dépend de manière subtile du choix des moments de rafraîchissement. Un objectif primordial de notre article est d’étudier comment le comportement d’un processus aléatoire avec une riche structure de corrélation peut être affecté par des rafraîchissements.