A shape theorem and a variational formula for the quenched Lyapunov exponent of random walk in a random potential

Abstract

We prove a shape theorem and derive a variational formula for the limiting quenched Lyapunov exponent and the Green’s function of random walk in a random potential on a square lattice of arbitrary dimension and with an arbitrary finite set of steps. The potential is a function of a stationary environment and the step of the walk. This potential is subject to a moment assumption which has strictness tied to the mixing rate of the environment. Our setting includes directed and undirected polymers, random walk in static and dynamic random environment, and, in the zero-temperature case, our results also give a shape theorem and a variational formula for the time constant of both site and edge directed last-passage percolation and standard first-passage percolation.

Nous prouvons un théorème de forme et déduisons une formule variationnelle pour l’exposant de Lyapunov et la fonction de Green de la marche aléatoire dans un potentiel aléatoire sur un réseau carré de dimension arbitraire et avec un ensemble fini arbitraire des pas possibles. Le potentiel est une fonction d’un environnement stationnaire et du pas de la marche. Ce potentiel est soumis à une hypothèse sur les moments qui est liée à la vitesse de mélange du milieu. Notre cadre comprend les modèles de polymères dirigés et non dirigés, les marche aléatoire dans un environnement aléatoire statique et dynamique, et, dans le cas de température nulle, nos résultats donnent également un théorème de forme et une formule variationnelle pour la constante de temps de la percolation du dernier passage dirigée par site et par arête et de la percolation du premier passage standard.