Transience and recurrence of sets for branching random walk via non-standard stochastic orders

Abstract

We study how the recurrence and transience of space-time sets for a branching random walk on a graph depends on the offspring distribution. Here, we say that a space-time set A is recurrent if it is visited infinitely often almost surely on the event that the branching random walk survives forever, and say that A is transient if it is visited at most finitely often almost surely. We prove that if μ and ν are supercritical offspring distributions with means $\overline{\mathit{\mu }}<\overline{\mathit{\nu }}$ then every space-time set that is recurrent with respect to the offspring distribution μ is also recurrent with respect to the offspring distribution ν and similarly that every space-time set that is transient with respect to the offspring distribution ν is also transient with respect to the offspring distribution μ. To prove this, we introduce a new order on probability measures that we call the germ order and prove more generally that the same result holds whenever μ is smaller than ν in the germ order. Our work is inspired by the work of Johnson and Junge (AIHP 2018), who used related stochastic orders to study the frog model.

Nous étudions comment la récurrence et la transience d’ensembles d’espace-temps pour une marche aléatoire branchante sur un graphe dépendent de la distribution de la progéniture. Un ensemble d’espace-temps A est appelé récurrent s’il est visité infiniment souvent sur l’événement de survie de la marche aléatoire branchante ; il est appelé transient si le nombre de visites est fini presque sûrement. Nous prouvons que si μ et ν sont deux distributions surcritiques de moyennes $\overline{\mathit{\mu }}<\overline{\mathit{\nu }}$ alors tout ensemble d’espace-temps qui est récurrent pour μ l’est aussi pour ν, et pareillement tout ensemble transient pour ν l’est aussi pour μ. Afin de prouver ce résultat nous introduisons un nouvel ordre partiel sur les mesures de probabilités que nous appelons germinal. Le résultat ci-dessus est ainsi vrai plus généralement pour deux mesures μ et ν telles que μ est plus petite que ν dans l’ordre germinal. Cette approche est inspirée par les travaux de Johnson et Junge (AIHP 2018) qui ont utilisé des notions reliées d’ordres stochastiques pour étudier le “frog model”.