Nonlinear predictable representation and L1-solutions of backward SDEs and second-order backward SDEs

Abstract

The theory of backward SDEs extends the predictable representation property of Brownian motion to the nonlinear framework, thus providing a path-dependent analog of fully nonlinear parabolic PDEs. In this paper, we consider backward SDEs, their reflected version, and their second-order extension, in the context where the final data and the generator satisfy ${\mathbb{L}}^1$-integrability condition. Our main objective is to provide the corresponding existence and uniqueness results for general Lipschitz generators. The uniqueness holds in the so-called Doob class of processes, simultaneously under an appropriate class of measures. We emphasize that the previous literature only deals with backward SDEs, and requires either that the generator is separable in $(\mathit{y},\mathit{z})$, see Peng (In Backward Stochastic Differential Equations (1997) 141–159 Longman), or strictly sublinear in the gradient variable z, see Briand, Delyon, Hu, Pardoux and Stoica (Stochastic Process. Appl. 108 (1) (2003) 109–129), or that the final data satisfies an $\mathit{L}ln\mathit{L}$-integrability condition, see Hu and Tang (Electron. Commun. Probab. 23 (2018) 27). We bypass these conditions by defining ${\mathbb{L}}^1$-integrability under the nonlinear expectation operator induced by the previously mentioned class of measures.

La théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades étend la propriété de représentation prévisible du mouvement brownien au cadre non linéaire, offrant ainsi un analogue non-markovien aux équations aux dérivées partielles paraboliques complètement non linéaires. Dans ce papier, nous considérons les EDS rétrogrades, leur version réfléchies et son extension au second ordre, dans le contexte d’une donnée terminale et d’un générateur ${\mathbb{L}}^1$-intégrables. Notre objectif est d’établir un résultat d’existence et d’unicité pour un générateur Lipschitzien. Nous montrons que l’unicité a lieu dans la classe des processus de Doob, simultanément sous une classe appropriée de mesures de probabilité sur l’espace des trajectoires. Notons que ce résultat est nouveau, même dans le cas particulier des EDS rétrogrades, où la littérature précédente établit l’unicité pour des générateurs, soit séparables en $(\mathit{y},\mathit{z})$ (Peng (In Backward Stochastic Differential Equations (1997) 141–159 Longman)), soit strictement sous-linéaires en la variable de gradient z, (Briand, Delyon, Hu, Pardoux and Stoica (Stochastic Process. Appl. 108 (1) (2003) 109–129)), ou alors sous une condition d’intégrabilité $\mathit{L}ln\mathit{L}$ (Hu and Tang (Electron. Commun. Probab. 23 (2018) 27)). Nous évitons de recourir à de telles conditions en introduisant l’intégrabilité ${\mathbb{L}}^1$ sous l’opérateur d’espérance non linéaire induit par la classe ci-dessus de mesures de probabilité.